Question

На продолжение CD - стороны квадрата ABCD за точку D взята точка Р., такая что DP<CD. Биссектриса угла BAP пересекает сторону CD в точке М. Докажите, чтотреугольник AMP - равнобедренный.​

Answer 1

Ответ:а) Тре­уголь­ни­ки BCE и CDK равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но,

то есть пря­мая BE пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CK. Тогда в четырёхуголь­ни­ке ABOK: ∠BAK = ∠BOK = 90°. По­это­му во­круг него можно опи­сать окруж­ность.

б) Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме

Урав­не­ние пря­мой KC: урав­не­ние пря­мой BE: Ко­ор­ди­на­ты точки O найдём из си­сте­мы урав­не­ний

Тогда рас­сто­я­ние между и равно

Ответ: б) 1.

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник AMP является равнобедренным, мы должны показать, что AM = MP.

Из условия задачи мы знаем, что точка P находится на продолжении стороны CD за точку D, и DP < CD. Поэтому точка P находится справа от точки D на стороне CD.

Также известно, что биссектриса угла BAP пересекает сторону CD в точке М. Обозначим точку пересечения биссектрисы с стороной CD как точку М.

Теперь рассмотрим треугольник ABP. В этом треугольнике угол ABP является половиной угла BAP, поскольку биссектриса делит угол BAP пополам. Также угол BPA является прямым углом, так как сторона BP является продолжением стороны BA.

Из этих двух фактов следует, что треугольник ABP является прямоугольным треугольником с прямым углом BPA.

Теперь рассмотрим треугольник ADM. Угол DAM является половиной угла BAP, поскольку AM является биссектрисой угла BAP. Угол ADM также является прямым углом, так как сторона AD является продолжением стороны AB.

Из этих двух фактов следует, что треугольник ADM является прямоугольным треугольником с прямым углом DAM.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника: ABP и ADM.

Теперь рассмотрим треугольник AMP. Угол MAP является прямым углом, так как сторона AM является продолжением стороны AD, а сторона MP является продолжением стороны BP.

Из прямоугольности треугольников ABP и ADM мы можем заключить, что AM = MP. То есть треугольник AMP является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник AMP является равнобедренным.