Question

Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке F, отрезки AM и CN – в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666. Найдите площадь четырехугольника ABCD.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA

Answer 2

Пусть x обозначает площадь треугольника AFE, а y - площадь треугольника CEF. Тогда площадь четырехугольника ABCD может быть выражена как сумма площадей треугольников AFE, CEF, и прямоугольника AEFC:

Площадь(AFE) = x Площадь(CEF) = y Площадь(AEFC) = Площадь(ABCD) = x + y + 666

Треугольник AFE и треугольник CEF подобны, так как у них соответствующие углы равны и их стороны пропорциональны. Поэтому отношение их площадей равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.

x/y = (AK/CP)^2 = (AM/CN)^2

Так как точки P, K, M, N - соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA, то отрезки AK и CP делят стороны треугольника ABCD в соотношении 1:1. То есть AK = CP и AM = CN.

x/y = (AK/CP)^2 = (AM/CN)^2 = 1^2 = 1

Отсюда следует, что x = y.

Теперь мы можем выразить площадь четырехугольника ABCD через x:

Площадь(ABCD) = x + y + 666 = 2x + 666

Так как x = y, то

Площадь(ABCD) = 2x + 666 = 2y + 666

Но мы знаем, что площадь четырехугольника AFCE равна 666. Значит,

2y + 666 = 666

2y = 0

y = 0

Так как y = 0, то x = 0.

Следовательно, площадь четырехугольника ABCD также равна 0.