Question

Дан остроугольный треугольник ABC, в котором проведена биссектриса BD. В треугольнике ADB проведена высота DE, а на стороне BC выбрана такая точка F, что угол DFC=45 градусов. Докажите, что BF+DE=BE​

Answer 1

Доказательство:

Так как треугольник остроугольный и BD - биссектриса, то ∠B<90°⇒∠CBD<45°=∠DFC, следовательно F∈BC.

Проведем из точки D перпендикуляр до отрезка BC с основанием M, M будет принадлежать стороне BC поскольку треугольник остроугольный.

Тогда прямоугольные треугольники BDE и BDM равны по общей гипотенузе BD и острым углам ∠DBE, ∠DBM. Из этого следует что, $BE=BM, DE=DM$.

Также из-за того что, ∠DBC<∠DFC=45°<∠DMC=90°⇒F∈BM, теперь можно пользоваться тем что $BF+FM=BM$.

Заметим что, DFM - прямоугольный треугольник с углом 45°, то есть $DM=FM$.

Учитывая доказанные равенства получаем,

$BF+DE=BF+DM=BF+FM=BM$

Что требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства BF + DE = BE воспользуемся теоремой синусов в треугольнике BDE:

В треугольнике BDE: sin(B) = DE / BE (1)

В треугольнике BFC: sin(B) = BF / BC (2)

Угол DFC = 45 градусов, поэтому в треугольнике DFC: sin(45) = DE / FC (3)

Углы треугольника DFC равны: F + DFC + C = 45 + B + C = 180 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то: B + C = 180 - 45 B + C = 135 (4)

Из (2) и (4) получаем: sin(B) = BF / BC sin(B) = BF / (BF + FC)

Из (3) и (4) получаем: sin(B) = DE / FC sin(B) = DE / (BF + FC)

Поскольку sin(B) равно обоим выражениям, мы можем приравнять их: BF / (BF + FC) = DE / (BF + FC)

Умножаем обе части уравнения на (BF + FC): BF = DE

Таким образом, мы показали, что BF равно DE, что эквивалентно утверждению BF + DE = BE.