Question

В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к основанию и боковой стороне соответственно равны 10 и 12. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Answer 1

Найдём стороны треугольника

а=b=c=h/cos30=13.86

R=13.86/sin30=8-радиус описанной

S=abc/4/R=13.86^3/4/8=83.2см

Периметр Р=13,86+13,86+13,86=41,57

Теперь ищем радиус вписанной

r=2*S/P=2*83.2/41.57=4см

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности, связанной с площадью треугольника и его полупериметром:

$r = \frac{A}{s},$

где $r$ - радиус вписанной окружности, $A$ - площадь треугольника, $s$ - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через его высоту $h$ к основанию и половину основания $b$ следующим образом:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h.$

Полупериметр треугольника $s$ равен сумме всех сторон, поделенной на 2:

$s = \frac{a + b + c}{2},$

где $a$ - длина равных сторон (боковой стороны), $b$ - длина основания.

В данной задаче $h = 10$ (высота), $b = 12$ (половина основания), и так как треугольник равнобедренный, то $a = c$.

Подставляя все значения в формулы, получим:

$A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60,$ $s = \frac{12 + 2a}{2} = 6 + a.$

Таким образом, радиус вписанной окружности:

$r = \frac{A}{s} = \frac{60}{6 + a}.$

Так как треугольник равнобедренный, то стороны $a$ и $c$ равны. Мы знаем, что высота $h$ проведена к основанию и разбивает его пополам, так что можем использовать теорему Пифагора для нахождения $a$:

$a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = h^2.$

Подставляя значения, получим:

$a^2 + 6^2 = 10^2,$ $a^2 = 100 - 36 = 64,$ $a = 8.$

Теперь мы можем подставить значение $a$ в выражение для радиуса:

$r = \frac{60}{6 + 8} = \frac{60}{14} = 4.29.$

Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника составляет примерно 4.29.