Question

Геометрия 8 класс 1. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ АС. Известно, что ∠ВАС в 4 раза больше, чем ∠АСВ. Чему равны эти углы? 2. Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 18 см. 3. Меньшая сторона прямоугольника равна 12 см, угол между диагоналями равен 60°. Найдите диагонали прямоугольника. 4. В ромбе ABCD проведена диагональ АС, Определите вид треугольника АВС и найдите его углы, если ∠ADC = 130°. 5. В ромбе ABCD ∠ABC = 140°. Найдите углы треугольника АОВ (О — точка пересечения диагоналей).

Answer 1

Ответ:  

1. ∠BAC=18°;  ∠CAB = 72°.

2. 2 см, 7 см.

3. АС=BD=24 см.

4. 25°, 25°, 130°.

5.  20°, 70°, 90°.

Объяснение:

1.  ∠ACB=x. Тогда ∠BAC=4x.

Сумма углов треугольника равна 180°. Тук как угол В=90°, то

х+4х=90°;

5х=90°;

х=18° - угол BAC;

угол CAB =4x=4*18= 72°.

***

2.  P=2(a+b) = 18 см, где а=х  см, b=x+5 см .

2(х+х+5)=18;

2х+5=9;

2х=4;

х=2 см - меньшая сторона;

Большая сторона  равна х+5=2+5=7 см.

Проверим:

Р=2(2+7)=2*9=18 см. Всё верно!

***

3)  Треугольник АВО - равносторонний АВ=ВО=АО=12 см.

Диагонали в прямоугольнике делятся пополам. Следовательно АС=BD=2*AO=24 см .

***

4.  В ромбе все стороны  и противоположные углы равны. Следовательно треугольник АВС - равнобедренный с углом при вершине 130°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠САВ+∠АВС+∠ВСА=180°;

∠ВАС=∠ВСА=(180°-130°)/2=25°.

***

5.  Диагонали в ромбе пересекаются под углом 90° и углы при вершине делит пополам. Следовательно угол ∠АВО =∠АВС/2=140°/2=70°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠АВО+∠ВОА+∠ОАВ=180°.

∠ВАО=180°-(70°+90°)=180°-160°=20°;

Answer 2

1. Пусть угол ACS (∠АСВ) равен x градусов. Тогда угол BAC (∠ВАС) будет равен 4x градусов. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов, поэтому:

x + 4x + 90 = 180 5x + 90 = 180 5x = 90 x = 18

Таким образом, ∠АСВ = 18°, ∠ВАС = 72°.

2. Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда другая сторона будет (x + 5) см. Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон:

2x + 2(x + 5) = 18 2x + 2x + 10 = 18 4x + 10 = 18 4x = 8 x = 2

Таким образом, стороны прямоугольника равны 2 см и 7 см.

3. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна 12 см, и угол между диагоналями равен 60°. Пусть большая сторона будет равна y см. Тогда мы можем использовать триугольник ACD, в котором одна сторона равна 12 см, а угол между сторонами 60°. Мы можем найти вторую сторону AC с помощью тригонометрии:

AC = 12 / sin(60°) = 12 / (√3 / 2) = 8√3 см

Таким образом, одна диагональ равна 8√3 см. Другая диагональ равна диагонали прямоугольника и будет равна √(12^2 + y^2).

Так как у нас прямоугольник, то одна из диагоналей будет равна √(12^2 + y^2), а другая диагональ (8√3) уже известна. Теперь мы можем решить уравнение:

√(12^2 + y^2) = 8√3 12^2 + y^2 = 192 y^2 = 192 - 144 y^2 = 48 y = √48 y = 4√3 см

Таким образом, вторая диагональ также равна 4√3 см.

4. Вид треугольника ABC зависит от угла ADC. Если ∠ADC = 130°, то треугольник ABC будет остроугольным.

5. Если ∠ABC = 140°, то ∠ABO = (180° - 140°) / 2 = 20° (так как AO является биссектрисой угла ABC).

Таким образом, угол AOV будет равен 20°, а угол AVO (также равный ∠BOC) будет равен 180° - 140° = 40°.