Question

у рівнобедреному трикутнику ABC точки D і E є серединами бічних сторін AB і BC відповідно BM- висота трикутника.Довести що кут DMB=куту BME

Answer 1

Дано: АВС - рівнобедренний трикутник. ВМ - висота. D i E - середини АВ і ВС.

Довести: <DMB=<MBE

Доведення:

Розглянемо трикутники DMB i MBE

Висота в рівнобедренному трикутнику, проведена до основи, є одночасно бісектрисою і медіаною.

Тому

1) <АВМ=<СВМ.

(За умовою АВ=ВС, точки D i E ділять сторони навпіл, тобто AD=DB=BE=EC.)

2) DB=BE.

3) BM - спільна сторона.

Отже трикутники DMB i MBE рівні за першою ознакою рівності трикутників (дві сторони і кут між ними).

Оскільки трикутники рівні, то і всі їх кути рівні.

Доведено.

Answer 2

Для доведення рівності кутів DMB і BME ми можемо використовувати властивості середніх ліній та висот у трикутнику.

Ось кроки доведення:

1. За умовою задачі, ми маємо рівнобедрений трикутник ABC, де D - середина сторони AB, E - середина сторони BC, і M - точка перетину висоти BM зі стороною AC.

2. Оскільки D і E є серединами відповідних сторін трикутника ABC, то ми можемо сказати, що AD = DB і CE = EB.

3. Розглянемо трикутники ABD і CEB. Вони є півтрикутниками трикутника ABC, і ми знаємо, що AD = DB і CE = EB. Оскільки D і E - середини сторін, то вони також лежать на відповідних медіанах та серединних перпендикулярах цих трикутників. Це означає, що вони ділять відповідні медіани і серединні перпендикуляри в співвідношенні 1:2.

4. Тепер ми знаємо, що BM є висотою трикутника ABC, і M - точка перетину висоти зі стороною AC. Отже, AM = 2MD і MC = 2ME.

5. Розглянемо трикутники AMD і CME. За попередніми висновками, AM = 2MD і MC = 2ME. З цими відношеннями ми можемо стверджувати, що трикутники AMD і CME є подібними (за властивістю подібних трикутників: якщо відповідні сторони подібних трикутників пропорційні, то вони подібні).

6. Отже, ми маємо спільний кут M у цих трикутниках AMD і CME, і маємо подібність цих трикутників. Це означає, що інші кути цих трикутників також рівні. Тобто кут DMB дорівнює куту BME.

Отже, ми довели, що кут DMB дорівнює куту BME за допомогою властивостей середніх ліній та висот у рівнобедреному трикутнику ABC.