Question

Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 8 см,а кут між ними - 120.Знайдіть третю сторону трикутника та його площу. Помогите пожалуйста срочно !!!

Answer 1

Ответ:

$S_{зABC} = 8\sqrt{3}$ см²

$AC = 4\sqrt{7}$ см

Объяснение:

Дано: AB = 4 см, BC = 8 см, ∠ABC = 120°

Знайти: AC, $S_{зABC}$ - ?

Розв'язання: За формулою площі трикутника:

$S_{зABC} = \dfrac{AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC}{2} = \dfrac{4 \cdot 8 \cdot \sin 120^{\circ}}{2} = \dfrac{32\cdot 0,5\sqrt{3} }{2} = 8\sqrt{3}$ см².

За теоремою косинусів:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cos \angle ABC} = \sqrt{4^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cos 120^{\circ}} =$

$= \sqrt{16 + 64 - 64 \cdot(-0,5)} = \sqrt{80 + 32} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$ см.

Answer 2

З наданої інформації ми можемо використовувати закон синусів для знаходження третьої сторони трикутника та його площі. Закон синусів гласить:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$

де $a$, $b$ і $c$ - довжини сторін трикутника, а $A$, $B$ і $C$ - відповідні кути.

Маємо дані:

• Сторона $a$ (одна зі сторін, що дорівнює 4 см).
• Сторона $b$ (інша сторона, що дорівнює 8 см).
• Кут $C$ (кут між цими сторонами, який дорівнює 120 градусів).

Ми хочемо знайти сторону $c$ та площу трикутника.

1. Знаходимо третю сторону $c$, використовуючи закон синусів:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}.$$

Підставляючи дані: $a = 4$ см, $A$ (кут між стороною $a$ та шуканою стороною $c$) дорівнює $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, $C = 120^\circ$:

$$\frac{4}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 120^\circ}.$$

Спрощуємо:

$$\frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{\sqrt{3}/2}.$$

Отже, $c = 8$ см.

2. Знаходимо площу трикутника за формулою:

$$\text{Площа} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C.$$

Підставляючи дані: $a = 4$ см, $b = 8$ см, $C = 120^\circ$:

$$\text{Площа} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ.$$

Спрощуємо:

$$\text{Площа} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \, \text{см}^2.$$

Отже, третя сторона трикутника дорівнює 8 см, а площа трикутника дорівнює $8\sqrt{3}$ см².