Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 112,5√3 . Один из острых углов равна 30º. Найдите длину гипотенузы.

Answer 1

Ответ:

7,5√3 ед. изм.

Объяснение:

Дано: ΔАВС - прямоугольный, АВ⊥АС, ∠С=30°,  S=112,5√3. Найти ВС.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S (ABC) = 1\2 * AC * BC = 112,5√3

AB * BC = 225√3

AB = 2 * BC  по свойству катета, лежащего против угла 30°

(2 * BC) * BC = 225√3

2BC² = 225√3

ВС=7,5√3

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник следующим образом:

• Пусть AB - гипотенуза треугольника.
• Пусть AC и BC - катеты треугольника.
• Угол CAB равен 30º.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника можно выразить через формулу:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В данном случае, основание треугольника это катет AC, а высота опущена из вершины B на основание AC.

Площадь = (1/2) * AC * BH,

где BH - высота треугольника из вершины B.

Так как у нас есть значение площади, мы можем записать:

112,5√3 = (1/2) * AC * BH.

Также у нас есть информация о том, что один из острых углов равен 30º. Это означает, что треугольник делится этим углом на два равнобедренных треугольника. То есть, AB равно AC.

Теперь мы можем записать:

112,5√3 = (1/2) * AB * BH.

Так как треугольник делится на два равнобедренных треугольника, то у нас есть две равенства высот BH и AH (высота из вершины A). Таким образом:

112,5√3 = (1/2) * AB * AH.

Далее, мы можем использовать тригонометрический закон синусов для связи сторон треугольника и его высоты:

sin(30º) = AH / AB.

Подставляя значение синуса 30º (равен 0,5), мы получаем:

0,5 = AH / AB.

Теперь мы можем выразить AH через AB:

AH = 0,5 * AB.

Подставляя это значение обратно в уравнение для площади, получим:

112,5√3 = (1/2) * AB * 0,5 * AB,

где AB - это гипотенуза треугольника, которую мы хотим найти.

Далее, решая уравнение:

112,5√3 = (1/4) * AB^2,

AB^2 = 112,5√3 * 4,

AB^2 = 450√3,

AB = √(450√3),

AB = √(225 * 2√3),

AB = 15√2 * √(2√3),

AB = 15√2 * √(6).

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 15√2 * √(6), что можно упростить:

AB = 15 * √(2 * 6),

AB = 15 * √12,

AB = 15 * 2√3,

AB = 30√3.

Итак, длина гипотенузы треугольника равна 30√3.