Question

Для куба ABCDA1B1C1D1 докажите перпендикулярность прямых а)АА1 и АС ,б)АА1 и ВD ,в)АВ и ВС1​

Answer 1

Ответ:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

• если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

а) AA₁⊥AB  и  AA₁⊥AD как стороны квадратов, тогда

АА₁⊥(АВС).

АС  ⊂ (АВС), значит АА₁⊥АС.

б) Как доказано выше, АА₁⊥(АВС),

BD ⊂ (АВС), значит АА₁⊥BD.

в) АВ⊥ВВ₁, АВ⊥ВС как стороны квадратов, тогда

АВ⊥(ВВ₁С₁).

ВС₁ ⊂ (ВВ₁С₁), значит АВ⊥ВС₁.

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности прямых в данных случаях, мы можем использовать свойства параллелепипеда (как куба), а также геометрические свойства перпендикулярных прямых.

а) Доказательство перпендикулярности прямых AA1 и AC:

1. Рассмотрим рёбра куба AA1 и AC. Они оба начинаются в точке A.

2. Рассмотрим грани куба. Грань ABCD пересекает грань A1B1C1D1, и грань ABDC пересекает грань A1B1C1D1. Таким образом, грани куба пересекают грани A1B1C1D1.

3. Поскольку эти грани образуют прямой угол друг с другом (в кубе), грани A1B1C1D1 также образуют прямой угол.

4. Рёбра AA1 и AC лежат в грани A1B1C1D1, поскольку оба начинаются в точке A.

5. Из пункта 3 следует, что грани A1B1C1D1 образуют прямой угол.

6. Теперь мы видим, что рёбра AA1 и AC лежат в грани A1B1C1D1 и образуют угол 90 градусов, следовательно, они перпендикулярны друг другу.

б) Доказательство перпендикулярности прямых AA1 и BD:

1. Рассмотрим рёбра куба AA1 и BD. Ребро AA1 начинается в точке A, а ребро BD начинается в точке B.

2. Обратите внимание, что в кубе противоположные рёбра параллельны и равны по длине.

3. Ребро AA1 и ребро BD находятся на противоположных сторонах куба и параллельны, так как оба начинаются в разных углах куба (A и B).

4. По свойству параллелограмма, если две прямые (в данном случае, рёбра) параллельны и имеют общую точку (A), то они образуют прямой угол.

5. Таким образом, рёбра AA1 и BD образуют прямой угол и, следовательно, перпендикулярны друг другу.

в) Доказательство перпендикулярности прямых AB и BC1:

1. Рассмотрим рёбра куба AB и BC1. Ребро AB начинается в точке A, а ребро BC1 начинается в точке B.

2. Обратите внимание, что в кубе противоположные рёбра параллельны и равны по длине.

3. Ребро AB и ребро BC1 находятся на противоположных сторонах куба и параллельны, так как оба начинаются в разных углах куба (A и B).

4. По свойству параллелограмма, если две прямые (в данном случае, рёбра) параллельны и имеют общую точку (B), то они образуют прямой угол.

5. Таким образом, рёбра AB и BC1 образуют прямой угол и, следовательно, перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали перпендикулярность прямых во всех трех случаях.