Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13;3), B(14;6), C(11;7) и D(10;4).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

М(АВ)=(6-3)/(14-13)= 3/1=3

М(ВС)=(7-6)/(11-14)=1/(-3)= -1/3

М(СД)=(4-7)/(10-11)=(-3)/(-1)=3

М(АД)=(4-3)/(10-13)=1/(-3)=-1/3

-1/3*3=-1  значит стороны попарно перпендикулярны!

АВ²=(14-13)²+(6-3)²=1+9=10     АВ=√10

ВС²=(11-14)²+(7-6)²=9+1=10     ВС=√10  

площадь равна АВ*ВС=√10*√10=10 квадратных единиц.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы должны проверить два условия:

1. Стороны, противоположные друг другу, должны быть равны по длине (это свойство прямоугольников).
2. Диагонали должны быть равны по длине и пересекаться в центре (это также свойство прямоугольников).

Для начала, найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя координаты точек A, B, C и D:

AB = √((14 - 13)^2 + (6 - 3)^2) = √(1^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10 BC = √((11 - 14)^2 + (7 - 6)^2) = √((-3)^2 + 1^2) = √(9 + 1) = √10 CD = √((10 - 11)^2 + (4 - 7)^2) = √((-1)^2 + (-3)^2) = √(1 + 9) = √10 DA = √((13 - 10)^2 + (3 - 4)^2) = √(3^2 + (-1)^2) = √(9 + 1) = √10

Как видно, все стороны AB, BC, CD и DA имеют одинаковую длину √10. Теперь проверим, что диагонали AC и BD также имеют одинаковую длину:

AC = √((11 - 13)^2 + (7 - 3)^2) = √((-2)^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20 BD = √((14 - 10)^2 + (6 - 4)^2) = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20

Диагонали AC и BD также имеют одинаковую длину √20.

Таким образом, мы убедились, что все стороны и диагонали четырёхугольника ABCD имеют одинаковые длины. Это означает, что ABCD является квадратом (частным случаем прямоугольника) с равными углами в 90 градусов.

Для нахождения площади квадрата, нам нужно знать длину одной из его сторон. Мы уже вычислили, что длина стороны равна √10, поэтому площадь квадрата равна:

Площадь = (Длина стороны)^2 = (√10)^2 = 10.

Итак, площадь четырёхугольника ABCD равна 10 квадратным единицам (единицы площади, например, квадратные метры, квадратные сантиметры и т. д., зависят от единиц измерения координат).