Question

Через кінець К відрізка КМ проведено площину а. Точка Р належить відрізку КМ, причому КР:РМ=1:2. Через кінець М та точку Р проведено прямі, перпендикулярні до площиниа, які перетинають її в точках М1 і Р1 відповідно. Відомо, що ММ1 = 9 см і Р1М1= 6 см. Знайдіть довжину відрізка РР1.​

Answer 1

Так как отрезки РР₁ и ММ₁ перпендикулярны плоскости а, то указанные отрезки лежат на одной плоскости, а точка Р₁ лежит на отрезке КМ₁.

Рассмотрим ∆КРР₁ и ∆КММ₁.

Угол МКМ₁ – общий;

Угол КР₁Р=угол КМ₁М (оба прямые, так как РР₁ и ММ₁ перпендикулярны КМ₁)

Следовательно ∆КРР₁~∆КММ₁ по двум углам.

Пусть КР=n, тогда РМ=2n (из отношения КР:РМ=1:2), следовательно КМ=KP+PM=n+2n=3n.

Отношение двух любых сторон одного треугольника, равно отношению двух соответствующих сторон треугольника, подобного первому. Тогда:

$\frac{KP}{ PP1} = \frac{KM }{MM1} \\ \frac{n}{PP1} = \frac{3n}{9} \\ \frac{n}{3n} = \frac{PP1}{9} \\ 3 \times PP1 = 9 \\ PP1 = 3$

Ответ: 3 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам спершу потрібно знайти довжину відрізка КМ та відрізка МР, а потім використати їх для знаходження відрізка РР1.

Дано:

1. КР:РМ = 1:2, тобто КР = (1/3)KM і РМ = (2/3)KM.
2. ММ1 = 9 см.
3. Р1М1 = 6 см.

Для знаходження довжини відрізка КМ, ми можемо використовувати співвідношення з пункту 1: КР = (1/3)KM РМ = (2/3)KM

Також відомо, що ММ1 = 9 см, і Р1М1 = 6 см.

Зараз ми можемо побудувати систему рівнянь для визначення довжин КМ та РМ:

1. ММ1 + М1Р1 = МР (за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ММ1Р1)
2. РМ = (2/3)KM
3. Р1М1 = 6 см

Підставимо значення ММ1 і Р1М1 у рівняння 1:

9 + 6 = МР МР = 15 см

Тепер можемо знайти КМ:

РМ = (2/3)KM 15 см = (2/3)KM

Помножимо обидві сторони на (3/2), щоб знайти КМ:

(3/2) * 15 см = KM 22.5 см = KM

Тепер ми знаємо довжину відрізка КМ (22.5 см) і довжину відрізка МР (15 см). Щоб знайти довжину відрізка РР1, можемо відняти довжину відрізка М1Р1 від довжини відрізка МР:

РР1 = МР - М1Р1 РР1 = 15 см - 6 см РР1 = 9 см

Отже, довжина відрізка РР1 дорівнює 9 см.