Question

1. Четырехугольник АВСТ вписан в окружность, Р- точка пересечения его диагоналей. Известно, что АР=10, ВР=12, СР=15. Найдите длину диагонали ВТ. С РЕШЕНИЕМ

Answer 1

Ответ:

Пусть ∠BAT=y, ∠CTA=x. Тогда по свойству вписанного четырехугольника имем:

∠BAT+∠BCT=180⇒ ∠BCT=180-y,

∠CTA+∠ABC=180⇒ ∠ABC=180-x.

∠ABC и ∠PBC - смежные, значит, ∠PBC=180-∠BCT=180-180+x=x.

∠BCT и ∠BCP - смежные, значит, ∠BCP=180-∠BCT=180-180+y=y.

∠P - общий для треугольников BPC и ABP, а два других угла равны ⇒ треугольники подобны. Из подобия следует, что AP/CP=TP/BP ⇔ AP*BP=CP*TP. ч.т.д.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательных и хордах:

Если из точки P провести касательные к окружности, то они будут равны по длине. Поэтому мы можем записать следующее:

AR = CR (по условию задачи) BR = PR (по условию задачи)

Теперь, чтобы найти длину диагонали ВТ (BT), нам нужно найти длину хорды BT. Поскольку диагональ ВТ является касательной к окружности из точки P, то длина хорды ВТ равна удвоенной длине отрезка PR:

BT = 2 * PR

Мы знаем, что PR = BR (по условию задачи), и PR = AR + AP (по теореме о касательных и хордах).

Теперь найдем значение AP. Мы знаем, что AP + CP = AC (по теореме о касательных и хордах), и AP = CP (по условию задачи).

Таким образом, AP + AP = AC, и AP = AC / 2. Мы можем найти значение AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 10^2 + 12^2 AC^2 = 100 + 144 AC^2 = 244

AC = √244 AC = 2√61

Теперь найдем AP:

AP = AC / 2 AP = (2√61) / 2 AP = √61

Теперь мы можем найти PR:

PR = AR + AP PR = 10 + √61

И, наконец, найдем длину хорды BT:

BT = 2 * PR BT = 2 * (10 + √61)

Теперь можно вычислить значение BT с помощью калькулятора.