Question

Отрезки AА1, BB1 и СС1 не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости A1CB1

Answer 1

Ответ:

Через две пересекающиеся прямые АА₁ и ВВ₁ можно провести плоскость.

Так как данные отрезки не лежат в одной плоскости, то СС₁ пересекает эту плоскость в точке О.

АО = ОА₁,

ВО = ОВ₁,

∠АОВ = ∠В₁ОА₁ как вертикальные, значит

ΔАОВ = ΔВ₁ОА₁ по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, ∠ОАВ = ∠ОА₁В₁, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых АВ и А₁В₁ секущей АА₁, значит

АВ║А₁В₁.

• Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.

А₁В₁⊂(А₁СВ₁), значит АВ║(А₁СВ₁).

Answer 2

Для доказательства того, что прямая АВ параллельна плоскости A1CB1, мы можем использовать следующий подход:

1. Обозначим середины отрезков АА1, ВВ1 и СС1 как M, N и O соответственно.

2. Из условия известно, что все три отрезка пересекаются в точке О, которая также является серединой каждого из них. То есть, точки М, N и О совпадают.

3. Теперь рассмотрим треугольник АВС. В этом треугольнике отрезки АА1, ВВ1 и СС1 соединяют середины его сторон соответственно.

4. По теореме о параллельности биссектрис треугольника (теорема 9.5.1 в учебнике Геометрия, А.П. Киселева), если биссектрисы двух углов треугольника параллельны, то стороны, содержащие эти углы, также параллельны.

5. В данном случае, отрезок АА1 соединяет середину стороны АС и сторону АВ, а отрезок ВВ1 соединяет середину стороны ВА и сторону ВС. Таким образом, из пункта 4 следует, что сторона АВ параллельна стороне А1С.

6. Так как сторона АВ параллельна стороне А1С, и точка А1 находится в плоскости A1CB1, то прямая АВ также параллельна этой плоскости.

Таким образом, мы доказали, что прямая АВ параллельна плоскости A1CB1, что и требовалось доказать.