Question

Переріз тунелю має форму прямокутника з насадженим півкругом. Периметр перерізу − 18 м. При якому радіусі півкруга площа перерізу буде найбільшою?​

Answer 1

Ответ>>>Наибольшая 3м

Answer 2

Для знаходження радіуса півкруга, при якому площа перерізу буде найбільшою, спростимо завдання. Спершу знайдемо вираз для площі перерізу в залежності від радіуса півкруга, а потім знайдемо значення радіуса, при якому ця площа досягає максимуму.

Периметр перерізу складається зі сторін прямокутника і довжини півкруга:

П = 2a + πr,

де P - периметр (18 м), a - довжина однієї сторони прямокутника, r - радіус півкруга.

Ми знаємо, що площа прямокутника дорівнює a * b, де b - інша сторона прямокутника.

Таким чином, площа перерізу S буде:

S = a * b + (πr^2) / 2.

Ми також знаємо, що P = 18 м, тому можемо виразити a як:

a = (18 - πr) / 2.

Тепер можемо підставити цей вираз для a у вираз для площі S:

S = [(18 - πr) / 2] * b + (πr^2) / 2.

Давайте розглянемо цей вираз як функцію від радіуса r. Ми хочемо знайти значення r, при якому площа S досягає максимуму. Для цього візьмемо похідну S по r і прирівняємо її до нуля:

dS/dr = [(18 - πr) / 2] * db/dr + πr = 0.

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно r, щоб знайти значення радіуса, при якому площа S максимальна:

[(18 - πr) / 2] * db/dr + πr = 0,

(18 - πr) * db/dr + 2πr = 0,

(18 - πr) * db/dr = -2πr,

db/dr = (-2πr) / (18 - πr).

Тепер знайдемо критичні точки, при яких db/dr = 0:

(-2πr) / (18 - πr) = 0.

Це рівняння має два розв'язки: r = 0 і 18/π.

Оскільки r не може бути від'ємним, то єдиним можливим значенням радіуса, при якому площа S досягає максимуму, є r = 18/π метрів.

Таким чином, площа перерізу буде найбільшою, коли радіус півкруга дорівнює 18/π метрів.