Question

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, CH-высота, BC=7 и tg(A)= 4/корень 33. Найдите BH.

Answer 1

Ответ:

BH = 4

Объяснение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Из ΔАВС: ∠А = 90° - ∠В

Из ΔВСН: ∠α = 90° - ∠В, значит

∠α = ∠А

$tg\alpha = tg\; A=\dfrac{4}{\sqrt{33}}$

$ctg\alpha =\dfrac{1}{tg\alpha }=\dfrac{\sqrt{33}}{4}$

$1+ctg^2\alpha =\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$

$\sin^2\alpha =\dfrac{1}{1+ctg^2\alpha}$

$\sin^2\alpha =\dfrac{1}{1+\dfrac{33}{16}}=\dfrac{1}{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{16}{49}$

$\sin\alpha =\dfrac{4}{7}$

ΔВСН:  ∠ВНС = 90°,

$\sin\alpha =\dfrac{BH}{BC}$

$BH=BC\cdot \sin\alpha =7\cdot \dfrac{4}{7}=4$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся основные тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках и свойства высоты.

Известно:

1. Угол C равен 90 градусов, что делает треугольник ABC прямоугольным.
2. BC = 7 (противоположная сторона к углу C).

Мы также знаем, что tg(A) = 4/√33.

Тангенс угла A в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противоположенной стороны к прилежащей стороне:

tg(A) = CH / BH.

Теперь мы можем выразить CH через BH:

CH = tg(A) * BH.

Также у нас есть теорема Пифагора, которая утверждает:

AB² = AC² + BC².

Подставляя известные значения:

AB² = AC² + 7², AB² = AC² + 49.

Так как AC это гипотенуза треугольника, мы можем выразить ее через BH и CH:

AC = BH + CH.

Теперь мы можем подставить это выражение в теорему Пифагора:

(BH + CH)² = 49 + BH².

Теперь мы можем подставить CH = tg(A) * BH и решить уравнение:

(BH + tg(A) * BH)² = 49 + BH².

(BH(1 + tg(A)))² = 49 + BH².

BH²(1 + tg(A))² = 49 + BH².

Раскроем квадрат и переносим все элементы на одну сторону:

BH²(1 + 2*tg(A) + tg²(A)) - BH² = 49.

BH²(2*tg(A) + tg²(A)) = 49.

BH²(2*(4/√33) + (4/√33)²) = 49.

BH²(8/√33 + 16/33) = 49.

BH²(264/√33 + 16/33) = 49.

Теперь выразим BH:

BH² = 49 / (264/√33 + 16/33).

BH² = 33 * 49 / (264 + 16).

BH² = (33 * 49) / 280.

BH² = 1617 / 280.

BH ≈ √(1617 / 280).

BH ≈ 7.037.

Итак, BH примерно равно 7.037.