Question

У рівнобедреному трикутнику сторона ділить пополам кут між висотою і бісектрисою, проведеними з однієї вершини. Знайти величини кутів трикутника.​

Answer 1

Такой вариант возможен только для тупоугольного треугольника.

Примем острые углы по 2 х (чтобы удобно пополам делить).

Значит, угол между высотой и стороной равен половине острого, то есть х.

Получаем прямоугольный треугольник из высоты, одной боковой стороны и основания.

Тогда сумма острых углов равна 3х + 2х = 5х.

Для прямоугольного треугольника эта сумма равна 90 градусов.

5х = 90, х = 90/5 = 18 градусов.

Острые углы равны 2х = 2*18 = 36 градусов, тупой: 180 -2*36 = 108 градусов.

Ответ: 2 угла по 36 и один 108 градусов.

Answer 2

Позначимо рівнобедрений трикутник як ABC, де AB = AC. Нехай D - середня точка BC.

Також, нехай H - основа висоти, яка проведена з вершини A, а L - точка перетину цієї висоти з бісектрисою, яка також проведена з вершини A.

З описаного нам відомо, що сторона AD поділяє кут HAD навпіл. Також, AD ділить кут LAD навпіл. З цього випливає, що кути HAL і DAL рівні.

Отже, ми маємо:

∠HAL = ∠DAL

А також, оскільки AD - медіана, то

∠HAD = ∠DAL

Звідси, отримуємо, що

∠HAL = ∠HAD = ∠DAL

Тепер розглянемо трикутник ADL. В ньому сума кутів дорівнює 180 градусів. Отже,

∠HAL + ∠HAD + ∠DAL = 180

Так як ∠HAL = ∠HAD = ∠DAL, ми можемо записати:

3∠HAL = 180

∠HAL = 60 градусів

Звідси випливає, що

∠HAD = 60 градусів

А оскільки AD - медіана, то ми можемо сказати, що кути протилежні до рівних сторін медіани рівні, тобто

∠ABC = ∠ACB = 60 градусів.

Таким чином, величини кутів трикутника ABC - 60°, 60° і 60°.