Question

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой BC, если B (3; -2; 4) , C (-2; 8; 19).

Answer 1

Даны точки  B (3; -2; 4) и C (-2; 8; 19).

Вектор ВС = (-2-3; 8-(-2); 19-4) = (-5; 10; 15).

Этот вектор является нормальным вектором искомой плоскости.

Уравнение плоскости, перпендикулярной ВС и проходящей через точку В: (-5)(x - 3) + 10(y + 2) + 15(z - 4) = 0. раскроем скобки и сократим на (-5).

x - 3 - 2y - 4 - 3z + 12 = 0,

x - 2y - 3z + 5 = 0.

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой BC, нам нужно сначала найти вектор, который будет перпендикулярным к прямой BC, а затем использовать этот вектор и координаты точки B, чтобы составить уравнение плоскости.

1. Найдем вектор BC, который будет направлен от точки B к точке C:

   BC = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (-2 - 3, 8 - (-2), 19 - 4) = (-5, 10, 15)

2. Теперь найдем вектор, перпендикулярный вектору BC. Этот вектор можно получить как векторное произведение BC на любой другой ненулевой вектор. Давайте возьмем, например, вектор (1, 0, 0):

   N = BC x (1, 0, 0)

   Для вычисления векторного произведения векторов, мы можем использовать определитель матрицы:

   N_x = (BC_y * 0) - (BC_z * 0) = 0 N_y = (BC_z * 1) - (BC_x * 0) = 15 N_z = (BC_x * 0) - (BC_y * 1) = -10

   Таким образом, вектор N равен (0, 15, -10).

3. Теперь у нас есть точка B (3, -2, 4) и вектор N (0, 15, -10). Мы можем использовать эти данные, чтобы составить уравнение плоскости в виде общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - это координаты вектора N, а D - необходимая константа. Подставляем данные:

   0x + 15y - 10z + D = 0

4. Теперь мы должны найти константу D. Для этого мы можем использовать точку B (3, -2, 4):

   0(3) + 15(-2) - 10(4) + D = 0 -30 - 40 + D = 0 -70 + D = 0

   D = 70

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку B (3, -2, 4) и перпендикулярной прямой BC, имеет вид:

0x + 15y - 10z + 70 = 0