Question

Доведіть що коли а>0 і в>0,то (1+а/в)(1+1/а)(4+в)>=16​

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Воспользуемся неравенством Коши

Answer 3

Щоб довести нерівність (1+а/в)(1+1/а)(4+в) >= 16 для a > 0 і в > 0, спростимо вираз:

(1+а/в)(1+1/а)(4+в)

Спочатку розглянемо перший добуток (1+а/в)(1+1/а):

(1+а/в)(1+1/а) = 1 + 1/а + а/в + (а/в) * (1/а) = 1 + 1/а + а/в + 1/в

Тепер розглянемо другий добуток (4+в):

4+в

Тепер перемножимо обидва добутки:

(1+а/в)(1+1/а)(4+в) = (1 + 1/а + а/в + 1/в)(4+в)

Тепер спростимо цей вираз:

(1 + 1/а + а/в + 1/в)(4+в) = 4 + 4/а + 4а/в + 4/в + в + в/а + а + 1

Тепер об'єднаємо подібні члени:

4 + 4/а + 4а/в + 4/в + в + в/а + а + 1 = 5 + 4/а + 4а/в + в/а + в + 4/в + а

Тепер ми бачимо, що цей вираз складається з суми додатних членів (оскільки a > 0 і v > 0). Оскільки кожен з цих членів є додатним, то сума також є додатньою. Тобто:

5 + 4/а + 4а/в + в/а + в + 4/в + а >= 5

Тепер, коли ми додали 5 до обох сторін нерівності, ми маємо:

4/а + 4а/в + в/а + в + 4/в + а >= 0

Оскільки усі доданки справа додатні, то ця нерівність виконується.

Отже, ми довели, що (1+а/в)(1+1/а)(4+в) >= 16 для a > 0 і v > 0.