Question

Средняя линия трапеции, длина которой равна 10, делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 3:5. Найти длину большего основания трапеции.

Answer 1

Ответ:  10.

Объяснение:

( Похоже без ВМ здесь не обойтись.)

----------------------------

Площадь трапеции  S(MBCN) = S1=h/2(MN+b)/2.

Площадь трапеции  S(AMND)= S2=h/2(MN+a)/2.

S1/S2=3/5=(MN+b)/(MN+a), так как MN =10, то

(10+b)/(10+a)=3/5;

5a+50=3b+30;

3a-5b=20;

-----------------

MN=(a+b)/2=10.

a+b=20;

----------------

система:

{3a-5b=20;

{a+b=20;

-------------

a=20-b;

3(20-b)-5b=20;

60-3b-5b=20;

-8b= -40;

b=5.

---------------

a=20-b=20-5=15;

AD=a=15.

-------------------

Проверка

MN=AD+ВС=(5+15)/2=10. Всё верно!!!  

Answer 2

Давайте обозначим длину меньшего основания трапеции как "a", а длину большего основания как "b". Также обозначим высоту трапеции как "h".

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

1. Длина меньшего основания: a
2. Длина большего основания: b
3. Средняя линия: это средняя арифметическая между a и b, то есть (a + b) / 2
4. Отношение площадей двух частей трапеции: 3:5

Сначала найдем выражение для высоты t трапеции. Мы знаем, что средняя линия делит высоту t на две равные части. Пусть h будет высотой трапеции, то есть:

h = 2 * (средняя линия) = 2 * ((a + b) / 2) = a + b

Теперь у нас есть выражение для высоты трапеции h.

Далее, отношение площадей двух частей трапеции 3:5 означает, что:

(площадь меньшей части) / (площадь большей части) = 3/5

Теперь давайте найдем выражения для площадей обеих частей. Площадь трапеции можно найти, умножив ее высоту на среднюю линию и разделив на 2:

Площадь меньшей части = (a * h) / 2 = (a * (a + b)) / 2 Площадь большей части = (b * h) / 2 = (b * (a + b)) / 2

Теперь, используя отношение площадей, мы можем записать:

(площадь меньшей части) / (площадь большей части) = 3/5

((a * (a + b)) / 2) / ((b * (a + b)) / 2) = 3/5

Сократим выражение на 2:

(a * (a + b)) / (b * (a + b)) = 3/5

Теперь умножим обе стороны на (b * (a + b)), чтобы избавиться от дроби:

a * (a + b) = (3/5) * (b * (a + b))

Раскроем скобки:

a^2 + ab = (3/5) * (ab + b^2)

Теперь выразим a^2 + ab как общий множитель:

a * (a + b) = (3/5) * (a * (a + b) + b^2)

Теперь можно сократить (a + b) с обеих сторон:

a = (3/5) * (a + b) + (3/5) * b^2

Теперь давайте упростим это выражение:

a = (3/5) * a + (3/5) * b + (3/5) * b^2

Переносим (3/5) * a на левую сторону:

a - (3/5) * a = (3/5) * b + (3/5) * b^2

Упростим:

(2/5) * a = (3/5) * b + (3/5) * b^2

Умножим обе стороны на 5/2, чтобы избавиться от дробей:

a = 5/2 * ((3/5) * b + (3/5) * b^2)

a = (3/2) * b + (3/2) * b^2

Теперь у нас есть выражение для меньшего основания a в зависимости от большего основания b.

Мы также знаем, что сумма длин обоих оснований равна длине средней линии:

a + b = (a + b) / 2

Теперь мы можем подставить выражение для a из предыдущего шага:

(3/2) * b + (3/2) * b^2 + b = (a + b) / 2

Теперь подставим значение a + b = h:

(3/2) * b + (3/2) * b^2 + b = h / 2

Теперь мы знаем, что h = a + b, так что:

(3/2) * b + (3/2) * b^2 + b = (a + b) / 2

Теперь мы можем подставить h = a + b:

(3/2) * b + (3/2) * b^2 + b = ((3/2) * b + (3/2) * b^2) / 2

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной, b. Решим его:

(3/2) * b + (3/2) * b^2 + b = ((3/2) * b + (3/2) * b^2) / 2

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

3b + 3b^2 + 2b = 3b + 3b^2

Теперь выразим 3b и 3b^2 справа:

2b = 0

Теперь мы видим, что b = 0. Но это не имеет смысла для длины основания. Поэтому, возможно, у нас была ошибка в рассуждениях или в условии задачи.

Проверьте задачу на правильность и уточните условия, если это необходимо, чтобы найти правильное решение.