Question

Определите угол В треугольника АВС, если его вершины имеют координаты A(1;5;3),B(3;3;2), C(3;6;5)​

Answer 1

Даны  координаты  вершин треугольника АВС: A(1;5;3), B(3;3;2), C(3;6;5)​.

Находим векторы ВА и ВС.

ВА = A(1;5;3) - B(3;3;2) = (-2; 2; 1), его модуль равен √(4+4+1) = √9 = 3.

ВС = С(3;6;5)​ - B(3;3;2) = (0; 3; 3), его модуль равен √(0+9+9) = √18 = 3√2.

Тогда косинус угла между этими векторами (а это угол В) равен:

cos B = (-2*0+2*3+1*3)/(3*3√2) = 9/9√2 = 1/√2 = √2/2.

Угол равен arc cos(√2/2) = 45 градусов.

Answer 2

Для определения угла В в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться косинусным правилом. Угол между двумя векторами в трехмерном пространстве можно вычислить следующим образом:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|),

где θ - угол между векторами AB и BC, AB · BC - скалярное произведение векторов AB и BC, |AB| и |BC| - длины этих векторов.

Давайте начнем с вычисления векторов AB и BC:

Вектор AB = B - A = (3 - 1, 3 - 5, 2 - 3) = (2, -2, -1), Вектор BC = C - B = (3 - 3, 6 - 3, 5 - 2) = (0, 3, 3).

Теперь вычислим скалярное произведение AB и BC:

AB · BC = (2 * 0) + (-2 * 3) + (-1 * 3) = 0 - 6 - 3 = -9.

Теперь найдем длины векторов AB и BC:

|AB| = √(2^2 + (-2)^2 + (-1)^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3, |BC| = √(0^2 + 3^2 + 3^2) = √(0 + 9 + 9) = √18 = 3√2.

Теперь мы можем вычислить косинус угла В:

cos(θ) = (-9) / (3 * 3√2) = (-9) / (9√2) = -1 / √2.

Используя косинусный обратный косинус, мы можем найти угол θ:

θ = arccos(-1 / √2) ≈ 135 градусов.

Таким образом, угол В в треугольнике ABC примерно равен 135 градусам.