Question

У рівнобедренний прямокутний трикутник АВС вписано прямокутник,який має з трикутником спільний кут С. Знайдіть довжину катета трикутника,якщо периметр прямокутника дорівнює 12см.

Answer 1

Ответ:

6см

Объяснение:

Пусть стороны вписанного прямоугольника равны х и у как на рисунке.

Два образовавшихся меньших прямоугольных треугольника внутри изначального большого △ABC, также будут равнобедренными, потому что у каждого из них один угол будет прямым, а второй равен 45°, значит и третий угол равен 180-90-45=45°. А значит катеты этих треугольников будут равны х и у. Тогда катеты △ABC будут равны АС=ВС=х+у. Запишем периметр прямоугольника:

P=2х+2у=12

2(х+у)=12

х+у=6

АС=ВС=6

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію з прямокутним трикутником АВС та вписаним прямокутником.

Позначимо катети прямокутного трикутника як a та b, де a > b. За теоремою Піфагора в рівнобедренному прямокутному трикутнику:

a^2 = b^2 + b^2 a^2 = 2b^2

Також, знаючи, що периметр прямокутника дорівнює 12 см, ми можемо побудувати рівняння для периметра:

2(a + b) = 12

Тепер ми можемо розв'язати ці два рівняння для a та b. Спочатку поділимо друге рівняння на 2:

a + b = 6

Тепер ми можемо використати це рівняння, щоб виразити b та підставити його в перше рівняння:

a = 6 - b

Тепер підставимо a = 6 - b в перше рівняння:

(6 - b)^2 = 2b^2

Розкриваємо дужки та спрощуємо рівняння:

36 - 12b + b^2 = 2b^2

Переносимо все на одну сторону та об'єднуємо подібні члени:

b^2 + 12b - 36 = 0

Тепер ми можемо вирішити це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

b = (-12 ± √(12^2 - 4×1×(-36))) / (2×1)

b = (-12 ± √(144 + 144)) / 2

b = (-12 ± √288) / 2

b = (-12 ± 12√2) / 2

Тепер розділимо обидві сторони на 2:

b = -6 ± 6√2

Таким чином, ми маємо два значення b:

1. b = -6 + 6√2
2. b = -6 - 6√2

Враховуючи, що довжина катету не може бути від'ємною, ми вибираємо позитивне значення:

b = -6 + 6√2

Отже, довжина одного з катетів трикутника дорівнює:

b = 6√2 - 6 см