Question

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B, в отношении 3 : 2. Если BC = 10 дм, то найди радиус окружности, описанной около треугольника ABC.​

Answer 1

Ответ:

7,5 дм

Объяснение:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для ΔАВН:

$\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{BO}{OH}=\dfrac{3}{2}$

ΔАВН прямоугольный,

$\sin\angle BAH=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{2}{3}$

По следствию из теоремы синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

$\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=2R$

$R=\dfrac{BC}{2\sin\angle BAC}=\dfrac{10}{2\cdot \frac{2}{3}}=\dfrac{10\cdot 3}{4}=7,5$  дм

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, обратном отношению длин двух других сторон. Также мы будем использовать закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности.

Давайте обозначим следующие величины:

• Пусть $AB$ и $AC$ будут сторонами треугольника, соответствующими отношению 3 : 2, то есть $AB = 3x$ и $AC = 2x$.
• Пусть $AD$ будет высотой, проведенной из вершины $B$ на сторону $AC$.
• Пусть $R$ будет радиусом описанной окружности.

Теперь мы можем использовать закон синусов для треугольника $ABC$, чтобы найти радиус описанной окружности:

$\frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)}$

Мы знаем, что угол $A$ делится биссектрисой на два угла $A/2$, и угол $B$ также делится на два угла $B/2$. Таким образом, $\sin(A) = \sin(B) = \sin(C)$, и мы можем записать:

$\frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)} = 2R$

Теперь мы можем подставить известные значения:

$\frac{10\, \text{дм}}{2R} = \frac{3x}{\sin(C)} = \frac{2x}{\sin(C)}$

Теперь нам нужно найти значение $\sin(C)$. Мы можем воспользоваться фактом, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$A + B + C = 180^\circ$

Так как угол $A$ делится на два угла $A/2$, то $A = 2C$. Также угол $B$ делится на два угла $B/2$, то $B = 2C$. Подставляя это в уравнение, получим:

$2C + 2C + C = 180^\circ$

$5C = 180^\circ$

$C = 36^\circ$

Теперь мы можем найти $\sin(C)$, используя значение угла $C$:

$\sin(36^\circ) \approx 0.5878$

Теперь мы можем продолжить наше уравнение:

$\frac{10\, \text{дм}}{2R} = \frac{3x}{0.5878} = \frac{2x}{0.5878}$

Теперь давайте решим это уравнение относительно $R$:

$2R = \frac{10\, \text{дм}}{0.5878} = 17\, \text{дм}$

$R = \frac{17\, \text{дм}}{2} = 8.5\, \text{дм}$

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника $ABC$ составляет $8.5$ дециметра или $85$ сантиметров.