Question

Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника своим пересечением образуют квадрат. С чертежом

Answer 1

Ответ:

Пусть в прямоугольнике ABCD биссектрисы пересекаются в точках E,F,G,H. Докажем, что EFGH - квадрат. В треугольнике AFD углы A и D равны 45 градусам, тогда угол F равен 90 градусам. Аналогично, в треугольнике BCH углы B и C равны 45 градусам, а угол H равен 90 градусам. В треугольнике ABE углы A и B равны 45 градусам, тогда угол E равен 90 градусам. Тогда и угол FEH равен 90 градусам (вертикальные углы равны). Аналогично, в треугольнике CDG углы C и D равны 45 градусам, тогда угол G равен 90 градусам и угол FGH равен 90 градусам. Таким образом, все углы четырехугольника EFGH равны 90 градусам и этот четырехугольник является прямоугольником.  

Теперь докажем, что соседние стороны EF и FG этого прямоугольника равны. Треугольники ABE и CDG равны, так как каждый из них - равнобедренный и прямоугольный и их гипотенузы равны. Тогда AE=DG. Треугольник ADF является равнобедренным и прямоугольным, тогда AF=DF. Тогда EF=AF-AE, GF=DF-DG, откуда EF=GF, треугольник EFG равнобедренный и EF=FG. Так как в прямоугольнике EFGH соседние стороны равны, этот прямоугольник - квадрат, что и требовалось доказать.

Объяснение:

Answer 2

Чтобы доказать, что биссектрисы углов прямоугольника образуют квадрат, мы можем воспользоваться геометрической конструкцией. Давайте начнем с построения прямоугольника и его биссектрис.

1. Нарисуйте прямоугольник ABCD. Выберите произвольные размеры сторон, чтобы упростить задачу.

2. Постройте биссектрису угла A. Для этого проведите линию, которая делит угол A пополам, то есть соедините точку A с серединой стороны BC (половиной диагонали AC).

3. Постройте биссектрису угла C. Аналогично, соедините точку C с серединой стороны AD (половиной диагонали AC).

Теперь у вас есть две биссектрисы, одна из точки A, а другая из точки C, которые пересекаются в некоторой точке E.

4. Докажем, что AE = EC и AE || EC. Для этого можно воспользоваться тем, что биссектрисы делят углы пополам и создают равные углы. Так как угол BAE равен углу CAE (по построению), а угол BCE равен углу ACE (по построению), то у нас есть две пары равных углов. Это означает, что треугольники ABE и CDE подобны по углам.

5. Из подобия треугольников ABE и CDE мы можем заключить, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть, AE/CE = AB/CD.

6. Но так как ABCD - это прямоугольник, то AB = CD (по определению прямоугольника).

7. Значит, AE/CE = 1, что означает, что AE = CE.

Теперь у нас есть два равных отрезка AE и CE, и мы можем заключить, что AECE - это квадрат. Таким образом, биссектрисы углов прямоугольника образуют квадрат.

Вот как это выглядит на чертеже:

cssCopy code
A------------------------B
|                        |
|                        |
|                        |
|                        |
|                        |
|                        |
|                        |
|                        |
C------------------------D

     E

В этом чертеже буквы A, B, C и D обозначают вершины прямоугольника, а точка E - точку пересечения биссектрис. Как видно из чертежа, AE = CE, и у нас образовался квадрат AECE.