Question

кут між діагоналями прямокутника дорівнює 30 знайдіть площу прямокутника якщо його діагональ дорівнює 12 см

Answer 1

Ответ:

Диагонали прямоугольника равны+делятся точкой пересечения пополам. От сюда по теореме косинусов одна сторона равна

√(36+36-2cos30)=√(72-2×√3/2)=√(72-√3)=a

А другая √(36+36-2cos150)=√(72-2×-√3/2)=√(72+√3)=b

S=a*b=√(72^2-3)=√(5184-3)=√(5181)

Answer 2

Можемо використовувати властивості прямокутника, щоб вирішити цю задачу.

Позначимо сторони прямокутника як a і b, де a - це довша сторона, а b - коротша сторона. Тоді ми маємо дві рівності:

1. Теорема Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного діагоналлю і сторонами прямокутника: a^2 + b^2 = 12^2 (за відомою діагоналлю 12 см).

2. Знаючи, що кут між діагоналями дорівнює 30 градусів, ми можемо скористатися тригонометричними функціями для знаходження відношення сторін прямокутника: tg(30°) = b / a

Зараз ми можемо розв'язати цю систему рівнянь.

Спочатку розв'яжемо другу рівність для b / a:

tg(30°) = b / a 1/√3 = b / a

Отже, b = (a / √3).

Підставимо це значення b в першу рівність:

a^2 + (a / √3)^2 = 12^2

a^2 + (a^2 / 3) = 144

Переносимо всі члени на одну сторону:

a^2 + a^2/3 - 144 = 0

Знаходимо спільний знаменник:

3a^2 + a^2 - 432 = 0

Об'єднуємо подібні члени:

4a^2 - 432 = 0

4a^2 = 432

Розділяємо обидві сторони на 4:

a^2 = 108

a = √108 a = 6√3

Тепер ми знаємо довшу сторону прямокутника a. Щоб знайти b, можемо використовувати другий рівняння:

b = (a / √3) b = (6√3 / √3) b = 6

Отже, сторони прямокутника дорівнюють a = 6√3 см і b = 6 см. Тепер можемо знайти площу прямокутника:

Площа = a * b Площа = (6√3 см) * (6 см) = 36√3 см²

Отже, площа прямокутника дорівнює 36√3 квадратних сантиметрів.