Question

248. Доказать, что треугольник будет прямоугольным, если медиана треугольника, проведѐнная к большей его стороне, равна еѐ половине. ​

Answer 1

Ответ:

Получится в этой задаче вот так)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться свойствами медиан треугольника и теоремой о прямоугольных треугольниках.

Пусть у нас есть треугольник ABC, и медиана, проведенная к большей стороне (скажем, стороне BC), равна половине этой стороны. Обозначим медиану как AM, где M - середина стороны BC. Таким образом, AM = 0.5 * BC.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник AMC, где AM - медиана, MC - половина стороны BC (так как M - середина BC), и угол AMC прямой, так как это середина гипотенузы в прямоугольном треугольнике ABC.

По теореме Пифагора в треугольнике AMC:

AC^2 = AM^2 + MC^2

Так как AM = 0.5 * BC, то AM^2 = (0.5 * BC)^2 = 0.25 * BC^2

Итак, у нас есть:

AC^2 = 0.25 * BC^2 + MC^2

Теперь вспомним, что MC - это половина стороны BC, поэтому MC^2 = 0.25 * BC^2.

Теперь мы можем заменить MC^2 в уравнении:

AC^2 = 0.25 * BC^2 + 0.25 * BC^2

AC^2 = 0.5 * BC^2

Теперь давайте вспомним, что у нас есть условие, что медиана AM равна половине стороны BC. Это означает, что AC также равно половине стороны BC:

AC = 0.5 * BC

Таким образом, мы видим, что AC^2 = (0.5 * BC)^2 = 0.25 * BC^2.

Итак, у нас есть:

AC^2 = 0.25 * BC^2

Теперь мы видим, что AC^2 = AC^2 (оба равенства имеют одну и ту же левую часть). Это означает, что треугольник AMC удовлетворяет условию Пифагора, и, следовательно, он является прямоугольным треугольником.

Таким образом, если медиана треугольника, проведенная к его большей стороне, равна половине этой стороны, то треугольник будет прямоугольным.