Question

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше хотя бы одной из сторон АС и ВС​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: Проведем CK ⊥ AB. Точка D лежит или между B и К или между A и K.

Если D лежит между точками К и B, то KB > KD; а если проекция больше, то больше и наклонная, т.е. AB > CD.

Aналогично доказывается, что CD < AC, если точка D лежит между точками A и К.

Если D совпадает с К, то CD < CB, так как наклонная больше перпендикуляра.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит:

В любом треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

Допустим, что в треугольнике ABC точка D такова, что CD больше или равно какой-либо из сторон AC или BC. Для определенности, предположим, что CD больше или равно AC.

Теперь рассмотрим сумму длин сторон AD и CD. Так как CD больше или равно AC, то мы можем записать:

AD + CD >= AC

Но AD + CD равно длине AC (по построению, так как точка D лежит на отрезке AC), следовательно:

AC = AD + CD

Теперь давайте воспользуемся неравенством треугольника для треугольника ADC:

AD + CD > AC

Но мы только что выяснили, что AD + CD равно AC, что противоречит неравенству треугольника. Это означает, что предположение о том, что CD больше или равно AC, неверно.

Следовательно, CD меньше как минимум одной из сторон AC или BC (иначе неравенство треугольника было бы нарушено), и доказательство завершено.