Question

Помогите решить с пояснением, не только ответ, пожалуйста Трапеция ABCD вписана в окружность (AD II BC), AB=13, BC=7, периметр 50. Найти: 1. CD и AD 2.среднюю линию трапеции 3. Площадь трапеции 4. tg/_BAD 5.cos /_ BCD 6.AC 7.радиус вписанной окружности 8.радиус описанной окружности

Answer 1

Трапеция ABCD вписана в окружность (AD II BC), AB=13, BC=7, периметр 50. Найти:   1. CD и AD  ;  2.среднюю линию трапеции  ;  3. Площадь трапеции  ;  4. tg∠BAD  ;   5.cos ∠BCD  ;  6.AC  ;  7.радиус вписанной окружности  ;  8.радиус описанной окружности.

Объяснение:

1) Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции ⇒ CD=13 , Тогда AD=50-(2*13+7)=17.

2)Средняя линия равна полусумме оснований : $\frac{AD+BC}{2} =\frac{7+17}{2} =12$  .

3) S (трапеции) =1/2*h*(a+b)  .Отложим от точки D отрезок DK=BC. Тогда  S (трапеции) =S (ΔАВК) , т.к высоты этих фигур равны .

Пусть ВН⊥АD,  АН=  $\frac{17-7}{2}$ = 5 . Из ΔАВН , по т. Пифагора

ВН=√(13²-5²)=  √( (13+5)(13-5))=√(18*8)=12 .

S (трапеции)=1/2*12*(17+7)=144 (ед²).

4) ΔАВН-прямоугольный, tg∠BAD= $\frac{BH}{AH}$  , tg∠BAD= $\frac{12}{5}$  , tg∠BAD=2,4 .

5) cos∠BCD= cos∠ABC, тк углы при основании равны.

cos∠ABC=cos(90°+∠АВН) =( по формулам приведения)=- sin∠ABН

Из ΔАВН,  sin∠ABН =$\frac{AH}{AB}$  , sin∠ABН =$\frac{5}{13}$  . Получаем  cos∠BCD=- $\frac{5}{13}$  .

6) ΔАВС , по т. косинусов АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cos∠ABC,

AC²=169+49-2*13*7*( - $\frac{5}{13}$  ) , AC²=218+70 ,  AC²=288 , AC=12√2.

7) Из формулы S=1/2*P*r , r=(2*S)/P . r=$\frac{2*144 }{50}$  ,  r =5,76

8) Радиус описанной окружности для трапеции совпадает с радиусом описанной окружности для ΔАВС. Найдем R для ΔАВC по т. синусов

$\frac{AC}{sin ABC}$ =2R ,  $\frac{AC}{sin ABC}$ =2R .

sin∠ABC=sin(90+∠ABH)=( по формулам приведения) =сos∠ABH.

ΔABH , сos∠ABH=$\frac{BH}{AB}$  , сos∠ABH=$\frac{12}{13}$  .Поэтому   sin∠ABC= $\frac{12}{13}$  .

2R = $\frac{12\sqrt{2} }{ \frac{12}{13} }$   , R=6,5√2 .

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждую из восьми частей вашего вопроса.

1. Найдем CD и AD: Так как AB || CD (по условию вписанности трапеции), то угол ACD равен углу BAD, и угол ADC равен углу BDA. Также, угол BCD и угол ABC являются вертикальными углами и равны между собой.

   Зная, что AB = 13 и BC = 7, периметр трапеции равен 50, можно записать: AB + BC + CD + AD = 50

   Подставляя известные значения, получаем: 13 + 7 + CD + AD = 50

   Теперь мы знаем, что CD + AD = 50 - 13 - 7 = 30.

   Учитывая равенство углов, можем также записать: tg(∠BAD) = tg(∠ACD) = h/CD где h - это высота трапеции.

2. Найдем среднюю линию трапеции: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. В данном случае, это (AB + CD) / 2. Мы уже знаем, что AB = 13 и CD + AD = 30, поэтому: (AB + CD) / 2 = (13 + CD) / 2

3. Найдем площадь трапеции: Площадь трапеции можно найти, используя формулу: S = (средняя линия) * (высота). Мы уже нашли среднюю линию (13 + CD) / 2. Для высоты нам нужно знать tg(∠BAD), который равен h/CD.

4. Найдем tg(∠BAD): Мы уже выразили tg(∠BAD) как h/CD в пункте 1. Мы также знаем, что h = AD, так как угол BDA и угол ADC противоположны друг другу, и высота проходит через точку D.

5. Найдем cos(∠BCD): Мы знаем, что BC = 7, и по теореме косинусов: cos(∠BCD) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

6. Найдем AC: Мы можем использовать ту же теорему косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(∠BCD)

7. Найдем радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности трапеции можно найти, используя формулу: r = S / (полупериметр трапеции). Мы уже знаем, как найти площадь трапеции, а полупериметр можно найти, разделив периметр трапеции на 2.

8. Найдем радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности трапеции равен половине длины диагонали трапеции. Мы уже знаем CD и AD из пункта 1. Радиус описанной окружности равен (CD + AD) / 2.

После нахождения всех этих данных, вы сможете найти ответы на ваши вопросы.