Question

Дано: вершины треугольника ABC: A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3). Найти:а) уравнение стороны AB;б) уравнение высоты CH;в) уравнение медианы AM;г) точку K - пересечения медианы AM и высоты CH;д) уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB;е) расстояние от точки C до прямой AB. Точки А (-5; 2) В (0; -4) С (5; 7)

Answer 1

|Дано: вершины треугольника ABC: А (-5; 2) В (0; -4) С (5; 7).

а) уравнение стороны АВ.

AB: (x−xA)/(xB−xA)=(y−yA)/(yB−yA) ⇔ (x−(−5))/(0−(−5))=(y−2)/(−4−2) ⇔ (x+5)/5=(y−2)/(−6) ⇔ 6x+5y+20=0.

б) уравнение высоты CH.

CН: (x−xC)/(yB−yA)=(y−yC)/(xA−xB) ⇔ (x−5)/(−4−2)=(y−7)/(−5−0) ⇔

(x−5)/(−6)=(y−7)/(−5)⇔ 5x−6y+17=0.

в) уравнение медианы AM.

Найдем основание медианы АМ (точки пересечения медианы со стороной ВС). Пусть A1 — точка пересечения медианы проведённая из вершины A со стороной BC. Тогда:

A1(xA1;yA1)=A1(xB+xC)/2;yB+yC/2)=A1(0+5)/2;−4+7)/2)=A1(5/2;3/2)=A1(2.5;1.5).

Получаем уравнение АМ.

AМ: (x−xA)/(xA1−xA)=(y−yA)/(yA1−yA) ⇔ (x−(−5))/(2.5−(−5))=(y−2)/(1.5−2) ⇔ (x+5)/7.5=(y−2)/(−0.5) ⇔ x+15y−25=0.

г) точка K - пересечение медианы AM и высоты CH.

Надо решить систему.

{x+15y−25=0, x(-5) = -5x-75y+125=0

{5x−6y+17=0.             5x−6y+17=0  

                                       -81y+142=0,     y = 142/81 ≈ 1,75308642.

x = 25 - 15y = 25 - (15*142/81) = -105/81 = -35/27 ≈ -1,296296296.

д) уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне A.

Коэффициенты в уравнении АВ такие же, как и в уравнении заданной прямой: 6x+5y+С=0. Для определения слагаемого С подставим коэффициенты точки С.

6*5 + 5*7 + С = 0, отсюда С = -30-35 = -65.

Уравнение: 6x+5y-65=0.

е) расстояние от точки C до прямой AB (это высота СH).

Эту задачу можно решить двумя способами.

1)По уравнениям СН и АВ найти точку Н пересечения с АВ. Длина по разности координат точек С и Н.

2) Сначала найти площадь треугольника, потом СН = 2S/AB.

Вычислим длины сторон:

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √61 ≈  7,810249676,

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =√146  ≈ 12,08304597,

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √125 ≈ 11,18033989.

Периметр: P=|AB|+|AC|+|BC|=61−−√+55–√+146−−−√≈31.074.

Полупериметр: p=P2=31.074/2≈15.537.

Площадь треугольника ABC      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 42,5.

CН = 2S/АВ = 10,88313479.

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться различными математическими формулами и методами. Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди.

а) Уравнение стороны AB: Для поиска уравнения стороны AB, мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2). Уравнение такой прямой будет иметь вид:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

В данном случае (x1, y1) = (-5, 2) и (x2, y2) = (0, -4), поэтому:

y - 2 = ((-4 - 2) / (0 - (-5))) * (x - (-5))

y - 2 = (-6 / 5) * (x + 5)

Теперь можно упростить это уравнение:

5(y - 2) = -6(x + 5)

5y - 10 = -6x - 30

6x + 5y = -20

Это уравнение представляет сторону AB треугольника.

б) Уравнение высоты CH: Высота CH перпендикулярна стороне AB и проходит через точку C(5, 7). Таким образом, уравнение высоты можно представить в виде:

x = 5

Это уравнение представляет высоту CH треугольника.

в) Уравнение медианы AM: Медиана AM проводится из вершины A до середины стороны BC. Для нахождения середины стороны BC, найдем средние значения координат x и y точек B и C:

Середина стороны BC: ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2) = ((0 + 5) / 2, (-4 + 7) / 2) = (5/2, 3/2)

Теперь, используя уравнение прямой, проходящей через точки A(-5, 2) и (5/2, 3/2), найдем уравнение медианы:

y - 2 = ((3/2 - 2) / (5/2 - (-5))) * (x - (-5))

y - 2 = ((-1/2) / (15/2)) * (x + 5)

y - 2 = (-1/15) * (x + 5)

Умножим обе стороны на 15 для избавления от дробей:

15(y - 2) = -1(x + 5)

15y - 30 = -x - 5

x + 15y = -25

Это уравнение представляет медиану AM треугольника.

г) Точка K - пересечения медианы AM и высоты CH: Медиана AM имеет уравнение x + 15y = -25, а высота CH имеет уравнение x = 5. Чтобы найти точку пересечения, решим систему уравнений:

x + 15y = -25 x = 5

Подставим второе уравнение в первое:

5 + 15y = -25

15y = -25 - 5

15y = -30

y = -30 / 15

y = -2

Таким образом, точка K имеет координаты (5, -2).

д) Уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB: Мы уже нашли уравнение стороны AB: 6x + 5y = -20. Прямая, параллельная этой стороне и проходящая через точку C(5, 7), будет иметь такое же направление наклона, поэтому уравнение этой прямой можно найти следующим образом:

6x + 5y = 6(5) + 5(7) = 30 + 35 = 65

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку C и параллельной стороне AB, будет:

6x + 5y = 65

е) Расстояние от точки C до прямой AB: Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:

d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

В данном случае, уравнение стороны AB имеет вид 6x + 5y = -20. Точка C(5, 7), поэтому x0 = 5 и y0 = 7. Также, A = 6, B = 5, и C = -20.

Подставим эти значения в формулу:

d = |6(5) + 5(7) - 20| / √(6^2 + 5^2)

d = |30 + 35 - 20| / √(36 + 25)

d = |45 - 20| / √(61)

d = 25 / √(61)

Это расстояние от точки C до прямой AB. Вы можете оставить его в таком виде или приблизить численное значение.