Question

Докажите что если стороны правильного шестиугольника и правильного треугольника равно то площадь шестиугольника в 6 раз больше площади треугольника

Answer 1

Как видно на рисунке, правильный шестиугольник можно поделить на 6 правильных треугольников (равносторонних)

Учитывая, что все стороны равны, то можно сказать, что S правильного шестиугольника больше в 6 раз S правильного треугольника.

Доказать это можно через формулы площадей:

Площадь правильного треугольника:

$S=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Площадь правильного шестиугольника:

$S=\frac{3a^{2}\sqrt{3} }{2}$ или другими словами $S=\frac{6a^{2}\sqrt{3} }{4}$ (первая формула является результатом сокращения второй)

Поделив формулу площади шестиугольника на формулу площади треугольника, получаем

$\frac{6a^{2}\sqrt{3} }{4}:\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4}=\frac{6a^{2}\sqrt{3} }{4}*\frac{4 }{a^{2}\sqrt{3} }=6$ (т.к. все остальное сокращается)

Таким образом, если стороны правильного шестиугольника и стороны правильного треугольника равны, то площадь шестиугольника больше в 6 раз

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте предположим, что стороны правильного шестиугольника и правильного треугольника равны. Пусть длина стороны каждого из них равна "a".

1. Рассмотрим площадь правильного треугольника. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

   Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

   В правильном треугольнике высота равна биссектрисе, которая делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Таким образом, биссектриса равна (a/2), и основание равно "a". Таким образом, площадь треугольника:

   Площадь треугольника = (1/2) * a * (a/2) = (1/4) * a^2

2. Теперь рассмотрим площадь правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равных равносторонних треугольников, каждый из которых является равнобедренным треугольником. Таким образом, внутренний угол каждого из этих треугольников равен 120 градусам.

   Площадь одного равнобедренного треугольника внутри шестиугольника можно вычислить по формуле:

   Площадь треугольника = (1/2) * сторона * высота

   Высота равнобедренного треугольника можно найти, используя теорему косинусов:

   высота = сторона * sin(60°)

   Таким образом, площадь одного равнобедренного треугольника:

   Площадь треугольника = (1/2) * a * (a * sin(60°)) = (1/4) * a^2 * √3

3. Так как правильный шестиугольник состоит из шести таких равнобедренных треугольников, площадь всего шестиугольника:

   Площадь шестиугольника = 6 * (1/4) * a^2 * √3 = (3/2) * a^2 * √3

Итак, мы видим, что площадь шестиугольника равна (3/2) * a^2 * √3, а площадь треугольника равна (1/4) * a^2. Теперь давайте сравним их:

(3/2) * a^2 * √3 / ((1/4) * a^2) = (3/2) * a^2 * √3 * (4/a^2) = 6√3

Итак, площадь шестиугольника в 6 раз больше площади треугольника, как и было утверждено.