Question

Даю 35 балла. срочно нужен ответ с объяснением пожалуйста помогите. в шестиугольнике со стороной 1 последовательно соединены середины всех сторон, в новом шестиугольнике опять соединены середины сторон потом снова соединены середины сторон полученного шестиугольника и т.д. найдите сумму площадей всех этих шестиугольников.​

Answer 1

Площадь правильного шестиугольника

S1 =3√3/2 a^2

Построим первый внутренний шестиугольник.

Его стороны отсекают 6 равных треугольников, найдем их суммарную площадь.

6 S△ =6 *1/2 (a/2)^2 sin120 =3√3/8 a^2

Видим, что площадь шести треугольников равна 1/4 площади исходного шестиугольника.

Тогда площадь внутреннего шестиугольника равна 3/4 площади исходного.

И так далее.

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель q=3/4.

Первый член b1=3√3/2 (площадь правильного шестиугольника со стороной 1)

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии  

S =b1/(1-q) =3√3/2 : 1/4 =6√3

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать геометрическую последовательность. Поскольку каждый новый шестиугольник образуется соединением середин сторон предыдущего шестиугольника, это создает бесконечную геометрическую последовательность шестиугольников.

Пусть S обозначает площадь одного из шестиугольников. Первый шестиугольник имеет сторону 1, поэтому его площадь равна S1 = (площадь правильного шестиугольника со стороной 1) = (3√3/2).

Для следующего шестиугольника, соединенного серединами сторон предыдущего, каждая из его сторон будет равной половине стороны предыдущего шестиугольника, то есть 1/2. Таким образом, его площадь S2 будет равна (3√3/2) * (1/2)^2.

Аналогично, для следующего шестиугольника его площадь S3 будет равна (3√3/2) * (1/2)^3, и так далее.

Общая сумма площадей всех шестиугольников будет равна сумме бесконечного ряда:

S1 + S2 + S3 + ... + Sn = (3√3/2) * (1/2)^0 + (3√3/2) * (1/2)^1 + (3√3/2) * (1/2)^2 + ... + (3√3/2) * (1/2)^n

Для нахождения суммы этого ряда, мы можем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической последовательности:

S = a / (1 - r)

Где a - первый член последовательности (S1), r - коэффициент убывания (1/2).

Подставляя значения:

S = (3√3/2) / (1 - 1/2) S = (3√3/2) / (1/2) S = 3√3

Таким образом, сумма площадей всех шестиугольников равна 3√3.