Question

Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці L , причому LC CD : 3:1  . Відомо, що BC – менша основа трапеції, а середня лінія трапеції дорівнює 21. ​Знайдіть довжину АD

Answer 1

Ответ:

24

Объяснение:

1) Средняя линия равна полусумме оснований, следовательно:

(ВС + АD) : 2 = 21

2) Так как ВС ║ АD как основания трапеции, то ΔВLC подобен треугольнику АLD.

3) Рассчитаем коэффициент подобия, пологая, что LC = 3x, а CD = x.

LD = LC + CD = 3х + х = 4 х

Тогда коэффициент подобия равен:

LD : LC = 4х : 3 х = 4/3

4) Таким образом, если AD = 4/3 ВС, в силу чего выражение

(ВС + АD) : 2 = 21

можно записать как:

(ВС + 4/3 ВС) : 2 = 21

Находим ВС:

(ВС + 4/3 ВС) = 42

2 1/3 ВС = 42

ВС = 18

AD = ВC · 4/3 = 18 · 4/3 = 24

Ответ: AD = 24

Answer 2

Давайте позначимо довжину меншої основи трапеції BC як "b", а довжину більшої основи AD як "a". Також, позначимо довжину середньої лінії трапеції (відстань між серединами сторін AD і BC) як "m".

За умовою задачі відомо, що відношення LC до CD дорівнює 3:1. Це означає, що

LC = 3x, CD = x,

де x - довжина CD.

Також, ми знаємо, що середня лінія трапеції дорівнює 21, тобто m = 21.

Знаючи це, ми можемо знайти відстань від точки L до середини сторони CD, яка дорівнює половині довжини CD:

LD = CD / 2 = x / 2.

Тепер ми можемо скористатися властивістю середньої лінії трапеції:

m^2 = LD^2 + (a - b)^2.

Підставимо відомі значення:

21^2 = (x / 2)^2 + (a - b)^2.

Розглянемо співвідношення LC до CD:

LC / CD = 3 / 1.

Підставимо вирази для LC і CD:

(3x) / x = 3, 3 = 3.

Це рівняння є істинним, тобто ми можемо вибрати будь-яке значення для x. Для спрощення обчислень, давайте виберемо x = 3.

Тепер підставимо значення x у рівняння для m^2:

21^2 = (3 / 2)^2 + (a - b)^2.

Розкриваємо дужки:

441 = 9 / 4 + (a - b)^2.

Віднімемо 9 / 4 з обох боків:

441 - 9 / 4 = (a - b)^2, (441 * 4 / 4) - 9 / 4 = (a - b)^2, (441 * 4 - 9) / 4 = (a - b)^2, (1764 - 9) / 4 = (a - b)^2, 1755 / 4 = (a - b)^2.

Тепер візьмемо квадратний корінь обох сторін:

√(1755 / 4) = a - b.

√(439.25) = a - b.

a - b = √(439.25).

a = √(439.25) + b.

Тепер ми повинні знайти значення "b", а потім ми зможемо знайти "a". Для цього ми використаємо відомий факт про трапеції: середня лінія є середньоарифметичною між основами.

m = (a + b) / 2.

Підставимо відоме значення m = 21:

21 = (a + b) / 2.

Помножимо обидві сторони на 2:

2 * 21 = a + b, 42 = a + b.

Тепер ми маємо систему двох рівнянь:

a = √(439.25) + b, 42 = a + b.

Ми можемо розв'язати цю систему рівнянь для "a" і "b". Спершу виразимо "b" з другого рівняння:

b = 42 - a.

Підставимо це значення в перше рівняння:

a = √(439.25) + 42 - a.

Тепер розв'яжемо це рівняння для "a":

2a = √(439.25) + 42, 2a - 42 = √(439.25).

Піднесемо обидві сторони до квадрату:

(2a - 42)^2 = 439.25.

Розкриємо дужки:

4a^2 - 168a + 1764 = 439.25.

Поміняємо місцями члени:

4a^2 - 168a + 1764 - 439.25 = 0.

Зведемо подібні доданки:

4a^2 - 168a + 1324.75 = 0.

Тепер ми можемо використовувати квадратне рівняння для знаходження "a". Знайдемо дискримінант:

D = (-168)^2 - 4 * 4 * 1324.75, D = 28224 - 21238, D = 6974.

Тепер використовуємо квадратний корінь для знаходження "a":

a = (-(-168) ± √6974) / (2 * 4), a = (168 ± √6974) / 8.

a ≈ (168 ± 83.53) / 8.

a ≈ (168 + 83.53) / 8 ≈ 251.53 / 8 ≈ 31.44.

Тепер, коли ми знайшли значення "a", можемо знайти значення "b" з другого рівняння:

b = 42 - a, b = 42 - 31.44, b ≈ 10.56.

Отже, довжина основи AD трапеції дорівнює приблизно 31.44, а довжина основи BC дорівнює приблизно 10.56.