Question

объем конуса равен 9 пи, его образующая составляет с плоскостью основания угол 45 градусов Найдите высоту конуса​

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим сечение конуса через вершину, перпендикулярное основанию.

Получится равнобедренный треугольник с углами у основания по 45 градусов и равными боковыми сторонами по 8 см.

Так как два угла треугольника-сечения известны (по 45), то можно посчитать оставшийся угол = 180 - 45 - 45 = 90. Следовательно, треугольник прямоугольный.

Диаметр (или 2 радиуса) основания конуса будет равен основанию прямоугольника (то есть неизвестной пока стороне. По совместительству, эта сторона будет являться гипотенузой.

По теореме Пифагора, гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов. То есть \sqrt{ 8^{2} + 8^{2} } = \sqrt {64 + 64} = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2}

8

2

+8

2

=

64+64

=

128

=8

2

Мы нашли гипотенузу сечения, а следовательно и диаметр конуса.

Диаметр = 2 радиусам. Т.е. радиус = 4 \sqrt{2}4

2

Формула объёма конуса:

V = \frac{1}{3} \pi r^{2} hV=

3

1

πr

2

h

Осталось найти высоту.

Из вершины треугольника-сечения опустим высоту. Она попадёт прямо на середину его основания, т.е. поделит его пополам. Эта высота образует прямоугольный треугольник, где высота и радиус конуса будут катетами, а образующая конуса - гипотенузой.

Найдём по теореме Пифагора высоту:

h = \sqrt{8^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{64 - 32} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}h=

8

2

−(4

2

)

2

=

64−32

=

32

=4

2

Подставляем в формулу объёма конуса всё найденное:

V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{ \pi * (4 \sqrt{2})^2* 4 \sqrt{2} }{3} = \frac{ \pi *128 \sqrt{2} }{3}V=

3

1

πr

2

h=

3

π∗(4

2

)

2

∗4

2

=

3

π∗128

2

Если у вас \piπ приравнивается к 3, то тройки сократятся и сотанется только 128 \sqrt{2}128

2

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать формулу объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h

где: V - объем конуса, π - число Пи (приближенно равно 3.14159), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Известно, что объем конуса равен 9π. Таким образом, мы можем записать:

9π = (1/3) * π * r^2 * h

Теперь давайте избавимся от π, деля обе стороны уравнения на π:

9 = (1/3) * r^2 * h

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной, высотой h. Мы также знаем, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 45 градусов. Это означает, что высота конуса h, радиус основания r и длина образующей L связаны следующим образом:

tan(45°) = r / h

Поскольку tan(45°) равен 1, мы можем записать:

1 = r / h

Теперь можно выразить r через h:

r = h

Теперь мы можем подставить это в уравнение для объема:

9 = (1/3) * h^2 * h

9 = (1/3) * h^3

Теперь умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

27 = h^3

Теперь найдем кубический корень от обеих сторон:

h = ∛27

h = 3

Таким образом, высота конуса равна 3 единицам.