Question

Для каждой из следующих теорем сформулируйте обратную, противоположную и противоположную обратной. Укажите, какие из этих теорем верны. а)Если параллелограмм является ромбом, то все его стороны равны и попарно параллельны. б)Соответственные углы равны.

Answer 1

Решение

Пусть теорема имеет вид "если А, то В". Тогда обратная к ней будет иметь вид "если В, то А", а противоположная - "если не А, то не В". Противоположная теорема вовсе не является теоремой, потому что бессмысленна по своей сути.

Теорема №1:

• Обратная (верна): Если все стороны параллелограмма попарно параллельны и равны, то такой параллелограмм является ромбом.
• Противоположная (не теорема): Если параллелограмм не является ромбом, то никакие из его сторон не равны и не параллельны.
• Противоположная обратной (не теорема): Если стороны параллелограмма не равны и попарно не параллельны, то такой параллелограмм не является ромбом.

Теорема №2:

Это точно полная формулировка теоремы? Соответственные углы равны только при пересечении параллельных прямых секущей. Иначе это не верно. То есть, полная теорема звучит так: если две прямые пересечены секущей, то образованные соответственные углы равны.

• Обратная (верна): Если соответственные углы равны, значит прямые параллельны.
• Противоположная (не теорема): Если две прямые не пересечены секущей, то образованные соответственные углы не равны.
• Противоположная обратной (не теорема): Если соответственные углы не равны, значит прямые не параллельны.

Answer 2

Давайте рассмотрим обратные, противоположные и противоположные обратные теорем для данных утверждений:

а) Если параллелограмм является ромбом, то все его стороны равны и попарно параллельны.

Обратная: Если все стороны параллелограмма равны и попарно параллельны, то он является ромбом.

Противоположная: Если параллелограмм не является ромбом, то его стороны не равны и/или не попарно не параллельны.

Противоположная обратной: Если не все стороны параллелограмма равны и/или не попарно не параллельны, то он не является ромбом.

Верность теоремы (а): Это утверждение верно. Если параллелограмм является ромбом, то все его стороны равны и попарно параллельны, и наоборот.

б) Соответственные углы равны.

Обратная: Если соответственные углы равны, то фигура является параллелограммом.

Противоположная: Если соответственные углы не равны, то фигура не является параллелограммом.

Противоположная обратной: Если фигура не является параллелограммом, то её соответственные углы не равны.

Верность теоремы (б): Это утверждение верно. Если соответственные углы в фигуре равны, то эта фигура является параллелограммом, и наоборот.