Question

Oснования трапеции ABCD (AD||BC) равны 6 см и 14 см, диагональ BD точкой пересечения диагоналей делится на отрезки, один из которых на 2см больше другого. Найдите длину диагоналей BD трапеции

Answer 1

Развёрнутое Решение задачи

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим длины оснований трапеции следующим образом:

$AB = a$ (меньшее основание)

$CD = b$ (большее основание)

Также, пусть точка пересечения диагоналей трапеции будет обозначена как $O$. Тогда, по условию, известно, что $AD || BC$ и диагональ $BD$ делится точкой $O$ на два отрезка, один из которых на 2 см больше другого.

Пусть $BO = x$ и $OD = x + 2$. Теперь, применяя подобие треугольников $ABO$ и $CDO$, мы можем записать следующее уравнение:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}$

С учетом того, что $AO + OC = AC = a + b$, мы можем записать уравнение:

$\frac{AO}{a + b - AO} = \frac{a}{b}$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $AO$. Умножим обе стороны на $(a + b - AO) \cdot b$:

$AO \cdot b = a \cdot (a + b - AO)$

Раскроем скобки:

$AO \cdot b = a^2 + ab - a \cdot AO$

Теперь перегруппируем:

$AO \cdot b + a \cdot AO = a^2 + ab$

$AO \cdot (b + a) = a \cdot (a + b)$

Теперь, деля обе стороны на $b + a$, получаем:

$AO = \frac{a \cdot (a + b)}{b + a} = \frac{a \cdot (a + b)}{a + b} = a$

Таким образом, мы нашли, что $AO = a$, и, следовательно, $OC = AC - AO = a + b - a = b$.

Теперь, мы знаем, что $BO = x$ и $OC = b$, а также, что $OD = x + 2$. Тогда:

$BD = BO + OD = x + (x + 2) = 2x + 2$

Также, мы знаем, что $AC = a + b$. Так как $AO = a$, то $CO = AC - AO = a + b - a = b$.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника $BCO$ и $BDO$. Мы можем применить теорему Пифагора для обоих треугольников:

$BCO: \quad BO^2 + CO^2 = BC^2$

$BDO: \quad BD^2 + DO^2 = BO^2$

Подставим выражения для $BC$, $BO$, $CO$, $BD$, и $DO$:

$x^2 + b^2 = (a + b)^2$

$(2x + 2)^2 + (x + 2)^2 = x^2$

Решив эти уравнения, вы найдете значения $x$ и, следовательно, длины диагоналей $BD$.