Question

Найдите сторону квадрата, вписанного в четверть круга радиуса R так, что две вершины лежат на радиусах и две на дуге.

Answer 1

Такой квадрат можно вписать при условии наклона сторон квадрата (пусть их длина равна х) к радиусам под углом 45 градусов.

Проекция одной стороны на радиус равна х√2/2.

Проекция двух сторон равна 2*(х√2/2) = х√2.

Для точки на дуге составим уравнение.

R² = (х√2)² + (х√2/2)².

R² = 2х² + 2х²/4 = 5x²/2.

Отсюда находим сторону квадрата: x = √(2R²/5) = R√(0,4).

Если без корня, это примерно равно 0,632456R.

Answer 2

Для нахождения стороны квадрата, вписанного в четверть круга радиуса R так, что две его вершины лежат на радиусах, а две на дуге, нужно воспользоваться геометрическими свойствами фигуры.

Представим четверть круга с радиусом R. Он будет иметь форму четверти круга и выглядеть как сектор с центром в точке O (центр круга) и углом AOB, где A и B - точки, где касается круга две вершины квадрата, а O - центр круга.

Сначала найдем угол AOB. Весь угол внутри четверти круга составляет 90 градусов (поскольку четверть круга равно 1/4 полного круга, а у полного круга угол 360 градусов). Таким образом, угол AOB равен половине этой величины, то есть 45 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны квадрата. Рассмотрим треугольник OAB, где OA - радиус круга R, а угол OAB равен 45 градусов. Тогда мы можем использовать тригонометрический косинус:

cos(45 градусов) = adjacent (AB) / hypotenuse (OA)

cos(45 градусов) = AB / R

AB = R * cos(45 градусов)

AB = R * (√2 / 2)

AB = R * √2 / 2

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в четверть круга радиуса R, так, что две его вершины лежат на радиусах и две на дуге, равна R * √2 / 2.