Question

9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВО, которая равна 8 см. Периметр треугольника АВС равен 24 см. Найти площадь треугольника АВС.

Answer 1

Решение:

1) Р/м ΔАВО,

АО = $\sqrt{x^2-64}$ , АО=ОС = $\sqrt{x^2-64}$

2) AB+BC+AC=24

$x+x+2*\sqrt{x^2-64} =24$   $(:2)$

$\sqrt{x^2-64} =(12-x)^2$

$x^2-64=144-24x+x^2$

$x^2+24x-x^2=144+64$

$x^2+24x-x^2=208$

$24x=208$

$x=\frac{208}{24} =\frac{104}{12} =\frac{52}{6}$

3)

$AC=2*\sqrt{x^2-64} =2*\sqrt{(\frac{52}{6})^2 -64} =\sqrt{(\frac{52}{6} -8)(\frac{52}{6} +8)} =\sqrt{\frac{52-48}{6} * \frac{52+48}{6} } =\sqrt{\frac{4}{6} *\frac{100}{6} } =\sqrt{\frac{400}{36} } =\frac{20}{6} =\frac{10}{3}$

Ответ: AC=10/3

Answer 2

Давайте обозначим вершину треугольника АВС как A, основание как AC, середину основания как O, а стороны треугольника как AB и BC. Так как треугольник равнобедренный, то AB = BC.

Также, по свойству медианы в равнобедренном треугольнике, мы знаем, что медиана делит другую сторону пополам. Таким образом, AO = OC = AC/2.

Итак, у нас есть следующие данные:

1. Медиана BO равна 8 см.
2. Периметр треугольника равен 24 см.

Мы можем написать уравнения на основе этих данных.

Периметр треугольника:

$AB + BC + AC = 24$

Так как AB = BC:

$2AB + AC = 24$

Теперь мы знаем, что AO = AC/2:

$2AO + AC = 24$

Заменяем значение медианы:

$2 \cdot 8 + AC = 24$

$16 + AC = 24$

$AC = 8$

Таким образом, длина основания AC равна 8 см.

Теперь у нас есть основание AC и медиана BO. Мы знаем, что медиана делит треугольник на два равных треугольника. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины половины основания:

$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2}$

$BO = \sqrt{BC^2 - OC^2}$

$8 = \sqrt{AB^2 - (AC/2)^2}$

$64 = AB^2 - \frac{AC^2}{4}$

$64 = AB^2 - 16$

$AB^2 = 80$

$AB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

Таким образом, мы нашли длины сторон треугольника: AB = BC = $4\sqrt{5}$, AC = 8.

Теперь для нахождения площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу Герона:

$S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)}$

где $p$ - полупериметр треугольника.

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} + 8}{2} = 8 + 2\sqrt{5}$

Теперь можем вычислить площадь:

$S = \sqrt{(8 + 2\sqrt{5}) \cdot (8 - 2\sqrt{5}) \cdot 4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}$

$S = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$

Таким образом, площадь треугольника АВС равна $8\sqrt{5}$ квадратных сантиметров.