Question

3. Знайдіть радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, якщо радіус кола, описаного навколо цього трикутника,дорівнює 10 см.​

Answer 1

Відповідь:

5 cм

Пояснення:

В рівносторонньому трикутнику центри вписаного та описаного кіл співпадають, а співвідношення між радіусами:

R=2r

Дано: рівносторонній трикутник, R=10cм

Знайти r-?

Рішення:

r=R/2=10cv/2=5 cv

Answer 2

Для знаходження радіуса кола, вписаного в рівносторонній трикутник, можна використовувати відомий факт, що в равнобедренному трикутнику серединний перпендикуляр, проведений з вершини до основи, ділить основу на дві рівні частини та є висотою та медіаною. В даному випадку цей серединний перпендикуляр є також радіусом кола, вписаного в трикутник.

Також відомо, що радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, дорівнює 10 см. Оскільки кожен кут рівностороннього трикутника дорівнює 60 градусів, то медіана, яка є і медіаною, і висотою, ділить кут в рівносторонньому трикутнику на два прямих кута (по 30 градусів кожен).

Тепер ми можемо використовувати трикутник, утворений медіаною, радіусом кола, описаного і радіусом кола, вписаного, для знаходження радіусу кола, вписаного.

Ми знаємо, що радіус кола, описаного, дорівнює 10 см, і медіана поділена на два сегменти, кожен з яких дорівнює половині радіуса кола, описаного, тобто 5 см. Також, оскільки медіана ділить кут в рівносторонньому трикутнику на два прямих кута, то ми маємо утворений правильний трикутник з кутами 30 градусів, 60 градусів і 90 градусів.

За теоремою про трикутник 30-60-90, відомо, що співвідношення сторін цього трикутника становить 1 : √3 : 2. Тобто, відомо, що величина сторони, яка протилежить 30 градусному куту, дорівнює 5 см (половина радіуса кола, описаного), тому:

Радіус кола, вписаного = (1/2) * √3 * (половина радіуса кола, описаного) = (1/2) * √3 * 5 см = 5√3 см.

Отже, радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 5√3 см.