Question

У трикутнику з однієї вершини проведені висота, бісектриса і медіана. відстані від другої вершини трикутника до основ висоти, бісектриси, медіани дорівнюють відповідно 21см, 25см і 25,5см. Обчислити периметр трикутника.

Answer 1

Медиана делит основание пополам, основание равно 25,5*2=51

Биссектриса делит основание на отрезки 25 и 26

По теореме о биссектрисе

a/b =25/26

Высота делит основание на отрезки 21 и 30

По теореме Пифагора (приравниваем по высоте)

a^2 -21^2 =b^2 -30^2

b^2 -a^2 =9*51  |:b^2

1 -25^2/26^2 =9*51/b^2

b^2 =9*26^2 => b =3*26 =78

a =78*25/26 =75

P =51+78+75 =204 (см)

---------------------------------

отрезки при биссектрисе x, y

отрезки при высоте p, q

$\frac{a}{x} =\frac{b}{y} =\sqrt{\frac{p-q}{x-y}}$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися властивостями висот, бісектрис і медіани в трикутнику. Ось деякі з них:

1. Довжина висоти поділена на дві частини утворює два прямокутних трикутника, які подібні до вихідного трикутника.

2. Бісектриса розділяє протилежню сторону на дві частини, пропорційні довжинам прилеглих сторін трикутника.

3. Медіана розділяє протилежню сторону на дві рівні частини.

Спочатку знайдемо висоту трикутника. Позначимо висоту як "h." За умовою завдання, відстань від другої вершини до основи висоти дорівнює 21 см. З властивостей висоти та подібності трикутників можемо записати:

(21 см) / h = h / (півпериметр трикутника)

(21 см) / h = h / (a + b + c) / 2

де "a," "b," і "c" - сторони трикутника.

Тепер знайдемо бісектрису трикутника, яку позначимо "bis." За умовою, відстань від другої вершини до основи бісектриси дорівнює 25 см. Знову ж таки, використаємо властивості бісектриси і подібності трикутників:

(25 см) / bis = bis / (a / 2)

(25 см) / bis = 2 * bis / a

Також нам відомо, що відстань від другої вершини до основи медіани дорівнює 25,5 см. Отже:

(25,5 см) / (a / 2) = (a / 2) / m

де "m" - довжина медіани.

Ми маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими (h, bis, a). Її можна вирішити числово.

Знайдемо значення "h" з першого рівняння:

(21 см) / h = h / (a + b + c) / 2

(21 см) / h = 2h / (a + b + c)

(a + b + c) * 21 см = 2h^2

(a + b + c) = (2h^2) / 21 см

Тепер знайдемо значення "bis" з другого рівняння:

(25 см) / bis = 2 * bis / a

bis^2 = (a * 25 см) / 2

bis = √[(a * 25 см) / 2]

Нарешті, знайдемо значення "m" з третього рівняння:

(25,5 см) / (a / 2) = (a / 2) / m

25,5 см = (a^2) / (2m)

a^2 = 51 см * 2m

a = √(102m)

Тепер ми можемо використовувати ці значення для знаходження периметра трикутника:

Периметр (P) = a + b + c

P = (√(102m) + b + (√(102m))

Тепер ми маємо значення для "a," "b," і "c" у термінах "m" і можемо виразити P у вигляді виразу з "m." Точні значення "m," "bis," і "h" можна знайти, розв'язавши систему рівнянь числово.