Question

Найдите угол α между векторами a(2; 0) и b(−2; 2)

Answer 1

Даны векторы a(2; 0) и b(−2; 2).

Их модули равны:

|a| = √(2² + 0²) = 2.

|b) = √((−2)² + 2²) = 2√2.

Ответ: cos (a_b) = (2*(-2) + 0*2)/(2*2√2) = 1/√2 = √2/2.

Угол равен 45 градусов.

Answer 2

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, используем следующую формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}}$

Где $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, а $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ - их длины.

Длина вектора $\mathbf{a}$ вычисляется следующим образом:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

Длина вектора $\mathbf{b}$ вычисляется аналогично:

$|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$

Для вектора $\mathbf{a}(2, 0)$:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$

Для вектора $\mathbf{b}(-2, 2)$:

$|\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 = -4$

Теперь подставим все в формулу для косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}} = \frac{{-4}}{{2 \cdot 2\sqrt{2}}} = -\frac{1}{{\sqrt{2}}}$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{{\sqrt{2}}}\right) \approx 135^\circ$

Итак, угол $\alpha$ между векторами $\mathbf{a}(2, 0)$ и $\mathbf{b}(-2, 2)$ составляет приблизительно 135 градусов.