Question

СРОЧНООО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!! В треугольник вписана окружность так, что получились отрезки касательных, равные 4 см, 5 см и 6 см. Найдите периметр этого треугольника. Ответ дайте в сантиметрах.

Answer 1

Ответ:

30

Объяснение:

окружность вписанная в треугольник касается его в центре сторон треугольника тогда стороны треугольника равны 8 , 10 и 12 и периметр равен 30

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойствами треугольника, вписанного в окружность. Пусть $ABC$ - треугольник, а $\omega$ - вписанная окружность.

Свойства:

1. Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
2. Точка касания касательной с окружностью равноудалена от концов хорды, образуемой точками касания.
3. Сумма углов, образованных хордой и её дополнением, равна $180^\circ$.

Пусть $D$, $E$, и $F$ - точки касания касательных длиной 4, 5 и 6 см соответственно. Пусть $O$ - центр окружности.

Так как $OD \perp AD$, $OE \perp BE$, $OF \perp CF$, то треугольники $ADO$, $BEO$, и $CFO$ - прямоугольные.

Теперь давайте воспользуемся формулой Пифагора для каждого из этих треугольников:

1. В треугольнике $ADO$: $AD^2 + OD^2 = AO^2$.
2. В треугольнике $BEO$: $BE^2 + OE^2 = BO^2$.
3. В треугольнике $CFO$: $CF^2 + OF^2 = CO^2$.

Также, по свойству хорды, $AD + BE + CF$ равно длине периметра треугольника $ABC$.

Теперь подставим значения:

1. $AD = 4$, $OE = OD = r$ (радиус окружности).
2. $BE = 5$, $OF = OE = r$.
3. $CF = 6$, $OD = OF = r$.

Таким образом, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 4^2 + r^2 = AO^2 \\ 5^2 + r^2 = BO^2 \\ 6^2 + r^2 = CO^2 \\ \end{cases}$$

Сложим все три уравнения:

$4^2 + 5^2 + 6^2 + 3r^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2$

Теперь воспользуемся тем, что сумма квадратов сторон треугольника равна удвоенной сумме квадратов половин сторон треугольника:

$2(AO^2 + BO^2 + CO^2) = (AB^2 + AC^2 + BC^2)$

Подставим значения:

$2(4^2 + 5^2 + 6^2) + 3r^2 = (AD^2 + BE^2 + CF^2)^2$

Упростим:

$2(16 + 25 + 36) + 3r^2 = (16 + 25 + 36)^2$

$2(77) + 3r^2 = 77^2$

$154 + 3r^2 = 5929$

$3r^2 = 5775$

$r^2 = 1925$

$r = \sqrt{1925} \approx 43.81$

Теперь найдем периметр треугольника:

$AD + BE + CF = 4 + 5 + 6 = 15$

Ответ: Периметр треугольника равен 15 см.