Question

Через сторону АМ правильного треугольника АМВ проведена плоскость. Медиана ВD образует угол 60 градусов с плоскостью. Найти синус угла между прямой АВ и плоскостью.

Answer 1

Через сторону треугольника проведена плоскость a.

Опустим перпендикуляр BH на плоскость a, BH⊥a

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.

∠BDH=60, ∠BAH - искомый угол

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в плоскости.

∠BHD=∠BHA=90

Пусть AB=1

BD =AB sin(BAM) =√3/2

BH =BD sin(BDH) =√3/2 *√3/2 =3/4

sin(BAH) =BH/AB =3/4

Answer 2

Для нахождения синуса угла между прямой AB и плоскостью, нам понадобится информация о угле между медианой BD и плоскостью, а также знание о геометрии треугольника AMV.

Давайте обозначим угол между медианой BD и плоскостью как α. Так как медиана делит треугольник на два равнобедренных треугольника, угол BDM равен углу DMB, и каждый из них равен 60 градусам (половина угла 120 градусов в равностороннем треугольнике AMV).

Теперь мы знаем, что угол между медианой BD и плоскостью (α) равен 60 градусов.

Так как прямая AB лежит в плоскости треугольника AMV, то она также будет лежать в плоскости, перпендикулярной медиане BD. Таким образом, угол между прямой AB и медианой BD также будет равен 60 градусам.

Теперь мы можем использовать связь между синусом угла между двумя векторами и синусом угла между прямой и плоскостью. Эта связь задается формулой:

$\sin(θ) = \sin(α)$

где θ - угол между прямой AB и плоскостью, α - угол между медианой BD и плоскостью, который мы рассчитали как 60 градусов.

Таким образом, синус угла между прямой AB и плоскостью равен $\sin(60^\circ)$, что равно $√3/2$ или приближенно 0.866.