Question

Сторони трикутника дорівнюють 7 см. 15 см і 20 см. З вершини найбільшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр, i з другого його кінця до протилежної цьому куту сторони проведено перпендикуляр завдовжки 7 см. Знайдіть довжину перпендикуляра. проведеного до площини трикутника.

Answer 1

Ответ:

Длина перпендикуляра к плоскости треугольника равна 5,6 см.

Объяснение:

Стороны треугольника равны 7 см, 15 см и 20 см. Из вершины наибольшего угла треугольника к его плоскости проведен перпендикуляр, и с второго его конца к противоположной этому углу стороны проведен перпендикуляр длиной 7 см. Найдите длину перпендикуляра к плоскости треугольника.

Дано: ΔАВС;

ВС = 7 см, АВ = 15 см, АС = 20 см.

МВ ⊥ АВС; МК ⊥ АС.

МК = 7 см.

Найти: МВ.

Решение:

• Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.

1. Соединим точку К с точкой В.

• Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к самой наклонной, перпендикулярна её проекции на эту плоскость.

⇒ КВ ⊥ АС

2. Рассмотрим ΔАВС.

По формуле Герона найдем его площадь.

$\boxed {\displaystyle \bf S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }$,

где р - полупериметр, a,b,c - стороны треугольника.

ВС = 7 см, АВ = 15 см, АС = 20 см.

р = (7 + 15 + 20) : 2 = 21 (см)

$\displaystyle S=\sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} =\\\\=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot1}=\sqrt{7\cdot3\cdot 2 \cdot7\cdot2\cdot3}=7\cdot3\cdot2=42\;_{(CM^2)}$

С другой стороны:

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

$\displaystyle S = \frac{1}{2}AC\cdot BK\\ \\42 = \frac{1}{2}\cdot 20 \cdot BK\\ \\BK = \frac{84}{20}\\ \\BK=4,2\;_{(CM)}$

3. Рассмотрим ΔКМВ - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем МВ:

МВ² = КМ² - ВК² = 49 - 17,64 = 31,36   ⇒   МВ = √31,36 = 5,6 (см)

Длина перпендикуляра к плоскости треугольника равна 5,6 см.

#SPJ1

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі скористаємося властивістю прямокутного трикутника, що стверджує, що висота, опущена з вершини прямого кута, розбиває його на два менших прямокутних трикутники.

У даній задачі трикутник ABC має сторони довжиною 7 см, 15 см і 20 см. Оскільки найбільший кут знаходиться проти сторони довжиною 20 см, то відповідна висота буде опущена з вершини C до сторони AB.

Нам відомо, що другий кінець перпендикуляра до протилежної куту сторони проведеної з вершини C до сторони AB має довжину 7 см. Позначимо цю точку як D.

Таким чином, трикутник CDB є прямокутним трикутником, із відомими катетами CD = 7 см і CB = 15 см. Нам потрібно знайти довжину гіпотенузи, яка відповідає перпендикуляру, проведеному до площини трикутника.

Застосуємо теорему Піфагора: CB² = CD² + BD²

15² = 7² + BD²

225 = 49 + BD²

BD² = 225 - 49

BD² = 176

BD = √176

BD ≈ 13.26 см

Таким чином, довжина перпендикуляра, проведеного до площини трикутника, становить приблизно 13.26 см.