Question

Из точки А к окружности проведены две касательные АВ и АС. Длина хорды ВС равна радиусу. Найдите углы треугольника АВС.

Answer 1

Ответ:

<ABC=<ACB=30°

<BAC=120°

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи обозначим следующие величины:

• $O$ - центр окружности,
• $R$ - радиус окружности,
• $AB$ и $AC$ - касательные из точки $A$ к окружности,
• $B$ и $C$ - точки касания касательных с окружностью,
• $BC$ - хорда, длина которой равна радиусу ($BC = R$),
• $\angle A$ - угол между $AB$ и $AC$ (угол при вершине $A$ в треугольнике $ABC$).

Так как $BC$ - хорда, и ее длина равна радиусу, это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно $AB = AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABO$, где $O$ - центр окружности, $AB$ и $AC$ - касательные. Так как $AB = AC$ (равнобедренный треугольник $ABC$), угол $\angle BAO$ равен углу $\angle CAO$ (по свойству равнобедренного треугольника).

Поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, у нас есть:

$\angle BAO + \angle BAC + \angle CAO = 180^\circ$

Из равенства углов $\angle BAO$ и $\angle CAO$ следует, что $\angle BAC = 180^\circ - 2\angle BAO$.

Теперь заметим, что $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ являются прямоугольными треугольниками (по свойству касательных к окружности), поэтому у нас есть:

$\angle BAO = \angle BAO' = \frac{1}{2} \angle BOA$ $\angle CAO = \angle CAO' = \frac{1}{2} \angle COA$

Так как $BC$ - хорда и $AB = AC$, угол $\angle BAC$ равен половине угла в центре, соответствующего $\angle BOA$ и $\angle COA$:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOA = \frac{1}{2} \angle COA$

Теперь можем выразить $\angle BAC$ через $R$ (радиус окружности). Угол в центре равен удвоенному углу на окружности, описываемой $BC$, и так как длина $BC$ равна $R$, имеем:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \arcsin\left(\frac{BC}{2R}\right) = \arcsin\left(\frac{R}{2R}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны:

$\angle A = \angle BAC = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ $\angle B = \angle C = \frac{1}{2} \cdot (180^\circ - \angle A) = \frac{1}{2} \cdot \left(180^\circ - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)$