Question

Дан треугольник АВС с вершинами А(2; 3), В(6; 6) С(9; 2) . а)определите вид треугольника АВС; в) если ВК –медиана треугольника,то найдите координаты точки К. с) найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

* 'v' означает вектор

a)

vAB(6-2 ; 6-3)

vAB(4 ; 3)

AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

vBC(9-6 ; 2-6)

vBC(3 ; -4)

BC = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

vAC(9-2 ; 2-3)

vAC(7 ; -1)

AC = √(7² + (-1)²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2

ABC является равнобедренным треугольником, поскольку две из его сторон равны.

AB = 5 ; BC = 5 ; AC = 5√2 (= √50)

Теперь проверим является ли он прямоугольным.

5² + 5² = √50²

25 + 25 = 50

50 = 50

Числовое равенство оказалось истинным, поэтому всё четко.

=> Треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным.

b) A(2 ; 3) ; B(6 ; 6)

K((2+6)/2 ; (3+6)/2)

K(4 ; 4,5)

c) AB = 5 ; BC = 5

S = ab / 2

= 5² / 2

= 25/2

= 12,5

Answer 2

а) Для определения вида треугольника ABC по его сторонам, мы можем использовать неравенство треугольника. Если каждая сторона меньше суммы двух других, то треугольник является остроугольным. Если хотя бы одна сторона больше суммы двух других, треугольник будет тупоугольным. Если каждая сторона равна сумме двух других, треугольник является равнобедренным.

Давайте найдем длины сторон треугольника ABC, используя координаты его вершин:

1. Сторона AB:
   Длина AB = √((6 - 2)^2 + (6 - 3)^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5.

2. Сторона BC:
   Длина BC = √((9 - 6)^2 + (2 - 6)^2) = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

3. Сторона AC:
   Длина AC = √((9 - 2)^2 + (2 - 3)^2) = √(7^2 + (-1)^2) = √(49 + 1) = √50.

Теперь давайте проверим, какой вид треугольника ABC:

• AB = BC = 5.
• AC = √50.

Поскольку все стороны треугольника не равны между собой, треугольник ABC - это остроугольный треугольник.

б) Чтобы найти координаты точки К, которая является серединой стороны BC (медианой треугольника), мы можем использовать среднее арифметическое координат точек B и C:

Координаты точки В (6; 6) и C (9; 2):

Xк = (Xб + Xс) / 2 = (6 + 9) / 2 = 15 / 2 = 7.5. Yк = (Yб + Yс) / 2 = (6 + 2) / 2 = 8 / 2 = 4.

Таким образом, координаты точки К равны (7.5, 4).

в) Чтобы найти площадь треугольника ABC, можно воспользоваться формулой Герона. Сначала найдем полупериметр треугольника:

s = (AB + BC + AC) / 2 = (5 + 5 + √50) / 2 = (10 + √50) / 2.

Теперь, используя формулу Герона:

Площадь треугольника = √[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)]

Подставляем значения:

Площадь треугольника = √[((10 + √50) / 2) * (((10 + √50) / 2 - 5) * ((10 + √50) / 2 - 5) * ((10 + √50) / 2 - √50)).

Теперь вычислим это выражение:

Площадь треугольника ≈ √[(10 + √50) / 2 * (5 - √50 / 2) * (5 - √50 / 2) * (√50 / 2)].

Вычисление этого выражения даст площадь треугольника ABC.