Question

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Во сколько раз объем пирамиды AA1BD меньше объема этого параллелепипеда?​

Answer 1

Пусть AB=x, AD=y, AA1=z.

Тогда объем параллелепипеда равен

Vpar=SABCD⋅AA1=xy⋅z.

Так как SABD=0,5SABCD (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды

Vpir=13⋅SABC⋅AA1=13⋅12xy⋅z=1/6xyz.

Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Answer 2

Чтобы найти во сколько раз объем пирамиды $AA1BD$ меньше объема параллелепипеда $ABCDA1B1C1D1$, нам нужно выразить объемы обеих фигур и найти их отношение.

Объем параллелепипеда можно выразить через его длину $l$, ширину $w$ и высоту $h$:

$V_{\text{параллелепипеда}} = l \times w \times h.$

Объем пирамиды можно выразить через объем параллелепипеда и коэффициент $k$ (подобие фигур):

$V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times V_{\text{параллелепипеда}} \times k^3.$

Коэффициент $k$ относится к высоте пирамиды и высоте параллелепипеда следующим образом:

$k = \frac{h}{h - A1A},$

где $A1A$ - высота пирамиды.

Таким образом, выражаем объем пирамиды через объем параллелепипеда:

$V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times V_{\text{параллелепипеда}} \times \left(\frac{h}{h - A1A}\right)^3.$

Теперь можем выразить отношение объемов пирамиды к параллелепипеду:

$$\begin{align*} \text{Отношение объемов} &= \frac{V_{\text{пирамиды}}}{V_{\text{параллелепипеда}}} \\ &= \frac{\frac{1}{3} \times V_{\text{параллелепипеда}} \times \left(\frac{h}{h - A1A}\right)^3}{V_{\text{параллелепипеда}}} \\ &= \frac{1}{3} \times \left(\frac{h}{h - A1A}\right)^3. \end{align*}$$

Теперь мы имеем формулу для отношения объемов пирамиды к параллелепипеду в зависимости от высоты $h$ и высоты пирамиды $A1A$. Вам необходимо знать конкретные значения $h$ и $A1A$ для вашей задачи, чтобы вычислить это отношение.