Question

Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M, CE⊥AB, DF⊥AB, ∠AMC=60°, ME=16, MF=14. Найдите длину хорды CD.

Answer 1

Решение:

Так как CE⊥AB по условию, то угол CEM – прямой, тогда ∆СЕМ – прямоугольный.

В прямоугольном ∆СЕМ:

$\cos(EMC) = \frac{ME}{CM} \\ \cos(60) = \frac{16}{CM} \\ \frac{1}{2} = \frac{16}{CM} \\ 1 \times CM = 2 \times 16 \\ CM = 32$

Так как DF⊥AB по условию, то угол DMF – прямой, тогда ∆DMF – прямоугольный.

Угол FMD=угол EMC как вертикальные, тогда Угол FMD=60°.

В прямоугольном ∆DMF:

$\cos(FMD) = \frac{MF}{DM} \\ \cos(60) = \frac{14}{DM} \\ \frac{1}{2} = \frac{14}{DM} \\ 1 \times DM = 2 \times 14 \\ DM = 28$

CD=CM+DM=32+28=60

Ответ: 60

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства центральных и касательных углов в круге.

Обозначим центр круга как O. Также, обозначим длину хорды CD как $x$.

1. Так как $\angle AMC = 60^\circ$, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle AMC = 120^\circ$, так как угол, подсчитанный от центра круга, в два раза больше угла, подсчитанного на окружности.

2. Рассмотрим треугольник OME. У нас есть прямой угол при E, и ME — медиана. Так как ME равна 16, то EM также равно 16. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OME:

$$OE^2 = OM^2 - ME^2$$

$$OE^2 = R^2 - 16^2$$

3. Теперь рассмотрим треугольник OMF. Аналогично, так как MF равно 14, то FM также равно 14. Также используем теорему Пифагора:

$$OF^2 = OM^2 - MF^2$$

$$OF^2 = R^2 - 14^2$$

4. Так как CE и DF — высоты, то треугольники OCE и ODF прямоугольные. Мы можем использовать теорему Пифагора в обоих треугольниках:

$$CE^2 = OE^2 - OC^2$$

$$DF^2 = OF^2 - OD^2$$

5. Заметим, что OC и OD равны радиусу круга R.

6. Теперь мы имеем систему уравнений:

$$\begin{align*} OE^2 &= R^2 - 16^2 \\ OF^2 &= R^2 - 14^2 \\ CE^2 &= OE^2 - R^2 \\ DF^2 &= OF^2 - R^2 \\ \end{align*}$$

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения OE и OF. После этого, зная радиус круга R и EM, мы можем найти CD, так как CD = 2 * OE + 2 * OF.