Question

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре общие перпендикуляры к скрещивающимся ребрам пересекаются в одной точке помогите пожалуйста!!!

Answer 1

Докажем сначала, что если высоты BB1 и CC1 тетраэдра ABCD пересекаются, то точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD и BC . Для этого проведём плоскость через прямые BB1 и CC1 , пересекающиеся в точке H . Пусть эта плоскость пересекает прямую AD в точке M . Так как BB1 и CC1 – высоты треугольника BMC , а высоты треугольника пересекаются в одной точке, то MH BC . В то же время, прямая AD перпендикулярна плоскости BMC , т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB1 и CC1 этой плоскости. Поэтому AD MH . Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC и AD лежит на прямой MH . Что и требовалось доказать. Поскольку все высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке, то по доказанному, точка их пересечения принадлежит общему перпендикуляру каждой пары скрещивающихся рёбер....

Но это не точно

Answer 2

Для доказательства этого утверждения важно иметь некоторое представление о геометрических свойствах ортоцентрического тетраэдра. Ортоцентрический тетраэдр - это тетраэдр, все вершины которого являются ортоцентрами треугольников, образованных тремя из четырех его граней.

Чтобы доказать, что общие перпендикуляры к скрещивающимся ребрам пересекаются в одной точке, мы можем воспользоваться методом отсутствия пересечения. Другими словами, мы предполагаем, что они не пересекаются в одной точке, и показываем, что это приводит к противоречию.

Предположим, что перпендикуляры к скрещивающимся ребрам не пересекаются в одной точке. Теперь рассмотрим два таких перпендикуляра: один, проведенный к первой грани тетраэдра, и другой - ко второй грани.

Так как перпендикуляры проводятся из одной и той же точки (вершины тетраэдра) к двум различным граням, они будут лежать в одной плоскости. Но поскольку тетраэдр - это трехмерная фигура, перпендикуляры не могут лежать в одной плоскости, не пересекаясь. Это противоречие говорит о том, что наше предположение о том, что перпендикуляры не пересекаются в одной точке, неверно.

Таким образом, мы пришли к выводу, что общие перпендикуляры к скрещивающимся ребрам ортоцентрического тетраэдра действительно пересекаются в одной точке.