Question

Допоможіть, будь ласка. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 8 см, бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть: а) висоту піраміди; б) площу перерізу піраміди площиною, що проходить через центр основи паралельно бічній грані; в) відстань від центра основи до бічної грані.

Answer 1

а) Для знаходження висоти піраміди, спочатку знайдемо довжину висоти бічної грані, а потім використовуємо теорему Піфагора.

Оскільки бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60°, то можна розглядати правильний трикутник з основою 8 см і кутом 60° при основі.

За теоремою синусів, ми можемо знайти довжину бічної грані:

sin(60°) = h/8,

де h - довжина висоти бічної грані.

sin(60°) = (√3)/2,

тому h = (8*(√3))/2 = 4√3 см.

Тепер, використовуючи теорему Піфагора, знайдемо висоту піраміди:

h^2 = (BC/2)^2 + h^2,

де BC/2 - радіус основи піраміди.

(BC/2)^2 = (8/2)^2 = 4^2 = 16.

h^2 = 16 + (4√3)^2 = 16 + 48 = 64.

Тому h = √64 = 8 см.

Отже, висота піраміди дорівнює 8 см.

б) Площа перерізу піраміди площиною, що проходить через центр основи паралельно бічній грані, дорівнює площі основи.

Площа основи піраміди рівна площі правильного трикутника, і можна обчислити як (сторона^2 * √3) / 4:

S основи = (8^2 * √3) / 4 = 64√3/4 = 16√3 см^2.

Отже, площа перерізу піраміди дорівнює 16√3 см^2.

в) Відстань від центра основи до бічної грані піраміди можна знайти, використовуючи властивість правильної трикутної піраміди, що ця відстань дорівнює радіусу описаного навколо основи кола.

Радіус описаного навколо основи кола можна знайти шляхом обчислення півдіаметра основи піраміди, який дорівнює півтретини бічної грані, тобто (BC * √3)/2:

Радіус = (8 * √3)/2 = 4√3 см.

Таким чином, відстань від центра основи до бічної грані дорівнює 4√3 см.