Question

Найдите наибольший возможный обьем конуса около которого описана сфера радиуса 1.

Answer 1

Пусть OO₁ = x (см. чертеж)

Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:

O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)

SO₁ = 1 + x - высота конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота

В нашем случае:

V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)

Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1

f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!

Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:

V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π

Answer 2

Для нахождения наибольшего возможного объема конуса, вписанного в сферу радиусом 1, мы можем использовать метод максимизации объема конуса.

Сначала определим, какие параметры конуса нам известны:

1. Радиус сферы (R) = 1.

Мы знаем, что вписанный конус будет касаться сферы в одной точке. Вершина конуса будет совпадать с центром сферы. Таким образом, расстояние от вершины конуса до центра сферы (h) будет равно радиусу сферы (R), то есть h = 1.

Теперь мы можем использовать формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h

где V - объем конуса, r - радиус конуса, h - высота конуса.

Мы знаем, что r и h связаны следующим образом:

r^2 + h^2 = R^2

Подставив значения h = 1 и R = 1, получим:

r^2 + 1^2 = 1^2 r^2 + 1 = 1 r^2 = 0 r = 0

Теперь, когда мы знаем, что радиус конуса равен 0, мы можем вычислить его объем:

V = (1/3) * π * 0^2 * 1 V = 0

Таким образом, наибольший возможный объем конуса, описанного вокруг сферы радиусом 1, равен 0.