Question

Задание 3 (16 баллов). Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если ∠B = 30°, ∠C = 105°, AC = 4 см. Промежуточные вычисления округлите до сотых.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1. Теорема: сумма угловΔ-ка = 180°. Из этого следует:

∠А = 180° - 30° -105° = 45°  → ∠А = 45°

2. Из ∠С построим высоту СО:

СО⊥ АВ.

Рассмотрим ΔАОС.

∠АОС = 90° по построению,

∠А = 45°, значит, ∠АСО =90°- 45° = 45°.

Следовательно, ΔАОС - равнобедренный и

АО=СО.

По т. Пифагора:  

АС² = АО² + СО²   →  АС² = 2СО² или

4² = 2*СО²

СО² = 16/2 = 8   →  СО = √8 =  2√2.

СО = АО =  2√2

3. Рассмотрим ΔСОВ.

∠СОВ = 90° по построению

∠В = 30°

СО = 2√2 - катет, лежащий против угла в 30°.

Теорема: В прямоугольном Δ - ке против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:

СВ = 2СО= 2 * 2√2 = 4√2

ОВ² =СВ² - СО² = (4√2)² - (2√2)² = 32 - 8 = 24

ОВ = √24 = 2√6

АВ = АО + ОВ  = 2√2 +2√6

Ответ:

∠А = 45°

СВ = 4√2 ≈ 4* 1,41 = 5,64(см0

АВ = 2√2 +2√6 = 2* 1,41 +2*2,45 = 2,82 + 4,9 = 7,72 (см)

Answer 2

Для нахождения неизвестных сторон и углов треугольника ABC, мы можем воспользоваться законом синусов и законом косинусов. Давайте сначала найдем угол A:

Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Заменяем известные значения:

∠A + 30° + 105° = 180°

∠A + 135° = 180°

∠A = 180° - 135°

∠A = 45°

Теперь у нас есть угол A.

Закон синусов позволяет нам найти сторону AB. Формула для закона синусов выглядит так:

(AB / sin ∠A) = (AC / sin ∠C)

Подставляем известные значения:

(AB / sin 45°) = (4 см / sin 105°)

Теперь найдем sin 105°. Обратите внимание, что sin(180° - 105°) = sin 75°, поскольку синус угла дополняющего до 180° равен синусу самого угла.

Теперь мы можем решить уравнение:

AB / sin 45° = 4 см / sin 75°

AB = (4 см * sin 45°) / sin 75°

AB ≈ (4 см * 0.7071) / 0.9659

AB ≈ 2.8284 / 0.9659

AB ≈ 2.9262 см

Теперь мы знаем сторону AB.

Чтобы найти сторону BC, мы можем использовать тот факт, что сумма углов треугольника равна 180°:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

45° + 30° + ∠C = 180°

75° + ∠C = 180°

∠C = 180° - 75°

∠C = 105°

Теперь у нас есть угол C.

Закон синусов позволяет нам найти сторону BC:

(BC / sin ∠B) = (AC / sin ∠C)

Подставляем известные значения:

(BC / sin 30°) = (4 см / sin 105°)

Теперь решим уравнение:

BC / sin 30° = 4 см / sin 105°

BC = (4 см * sin 30°) / sin 105°

BC ≈ (4 см * 0.5) / 0.9659

BC ≈ 2 см / 0.9659

BC ≈ 2.0708 см

Теперь мы знаем сторону BC.

Итак, неизвестные стороны и углы треугольника ABC:

AB ≈ 2.9262 см BC ≈ 2.0708 см ∠A = 45° ∠B = 30° ∠C = 105°